TENTANG a^n + b^n = c^n
.
Ivan Taniputera.
4 Agustus 2018.
.
Pada
kesempatan kali ini saya ingin membahas persamaan a^n+b^n = c^n, dimana
a, b, c, dan n merupakan bilangan bulat. Untuk n lebih besar
dibandingkan 2, maka tidak terdapat nilai a, b, dan c yang memenuhi
persamaan tersebut. Hal ini disebut Teorema Terakhir Fermat.
.
Untuk membuktikan bagi nilai n lebih besar dibandingkan 2, saya akan menuliskan kembali persamaan di atas menjadi:
.
a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).
.
a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k.
.
.
a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k.
.
dengan k adalah 1, 2, 3, ...........
.
Kini
kita perlu mengulas terlebih dahulu mengenai Teorema Phytagoras dan
Tigaan Phytagoras (Phytagorean Triple), khususnya Tigaan Phytagoras
Primitif (Primitive Phytagorean Triple); yakni tiga bilangan yang
memenuhi Teorema Phytagoras, namun tidak mempunyai faktor sama (common
factor).
.
Teorema Phytagoras: a^2 + b^2 = c^2.
Contoh Tigaan Phytagoras Primitif adalah 3, 4, dan 5.
3 ^2 + 4^2 = 5^2
9 + 16 = 25.
.
Tigaan
Phytagoras dapat dibentuk melalui mengalikan Tigaan Phytagoras Primitif
dengan bilangan bulat tertentu yang sama. Sebagai contoh kita ambil 3,
4, dan 5. Kita akan mengalikan masing-masing Tigaan Phytagoras
Primitif tersebut dengan 2 dan mendapatkan:
.
6, 8, dan 10.
.
Ketiga angka tersebut merupakan Tigaan Phytagoras berikutnya.
.
6^2 + 8^2 = 10^2.
36 + 64 = 100.
.
Dengan demikian, kita dapat menuliskan Teorema Phytagoras sebagai:
.
p.a^2
+ p.b^2 = p.c^2. Dengan p = 1,2,3,...... dan a, b, serta c merupakan
Tigaan Phytagoras Primitif. Jadi, sekali lagi ketiganya harus dikalikan
dengan bilangan bulat yang sama. Jika masing-masing dikalikan dengan
bilangan bulat yang berbeda, maka persamaan Phytagoras itu tidak akan
terpenuhi.
.
Kini kita akan kembali pada persamaan sebelumnya.
.
a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).
a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k
.
Pada
persamaan di atas a^2 dikalikan a^k; b^2 dikalikan dengan b^k; c^2
dikalikan dengan c^k. Agar terdapat nilai a, b, dan c berupa bilangan
bulat yang memenuhi teorema Phytagoras, maka:
.
.
a^k = b^k = c^k
.
Dengan demikian, yang mungkin adalah a=b=c. Padahal a, b, dan c harus
merupakan tiga bilangan bulat berbeda. Itulah sebabnya, kita dapat
menyimpulkan bahwa mustahil ada tiga bilangan bulat yang memenuhi
persamaan a^n + b^n = c^n untuk n lebih besar dibandingkan 2.
