1. Gambarlah grafik-grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.
.
a. y=½x²
.
Ini
merupakan persamaan kuadrat yang mempunyai sumbu y sebagai sumbu
simetrinya dan titik (0,0) sebagai titik lembahnya. Untuk menggambar
grafik fungsi kuadrat ini, kita akan membuat tabel sebagai berikut.
.
.
Dengan
demikian grafik fungsi kuadrat itu melalui titik-titik (-3, 4,5), (-2,
2), (-1, 0,5), (0,0), (1, 0,5), (2,2), dan (3, 4,5). Kita dapat
menggambarkannya sebagai berikut:
.
.
b.y=-½x²
.
Ini
merupakan persamaan kuadrat yang mempunyai sumbu y sebagai sumbu
simetrinya dan titik (0,0) sebagai titik puncaknya. Caranya sama dengan
1.a. Kita buat tabel sebagai berikut:
.
,
Dengan
demikian grafik fungsi kuadrat itu melalui titik-titik (-3, -4,5), (-2,
-2), (-1, -0,5), (0,0), (1, -0,5), (2,-2), dan (3, -4,5). Kita dapat
menggambarkannya sebagai berikut:
.
. c. y=x²+3x+2.
Untuk menggambar grafik persamaan kuadrat ini, kita faktorkan terlebih dahulu menjadi (x+1)(x+2).
Kita
cari terlebih dahulu titik potongnya dengan sumbu x, yakni bila y = 0.
Hal ini akan dipenuhi bagi nilai x: x1 = -1 dan x2 = -2. Dengan
demikian, titik-titik potongnya terhadap sumbu x adalah (-1, 0) dan (-2,
0). Titik potong dengan sumbu y bila x = 0, sehingga y = 2. Dengan
demikian, titik potongnya terhadap sumbu y adalah (0, 2).
.
Rumus koordinat titik puncak bagi persamaan kuadrat adalah:
xp = -b/2a.
Dalam hal ini, a = 1 dan b = 3.
Jadi, xp = -1,5.
Substitusikan nilai ini ke persamaan kuadrat.
yp = (-1,5)^2 + 3.(-1,5) + 2.
yp = 2,25 - 4,5 + 2
yp = -0,25.
.
Jadi titik puncaknya adalah (-1,5, -0,25).
.
Itulah
sebabnya, grafik persamaan kuadrat ini akan melalui titik-titik (-1,0),
(-2.0), (0,2), dan (-1,5, -0,25). Kita sudah dapat menggambarkannya
sebagai berikut.
Saya iseng-iseng bertanya pada beberapa siswa. Jika di soal terdapat
pernyataan panjang = 2 m, luas = 10 m2, volume = 150 dm3. Apakah maksud
semua itu? Sebagian besar masih bingung menjawab. Mungkin mereka belum
paham dengan apa yang dimaksud satuan. Semua besaran dalam fisika, baik
itu pokok maupun turunan memiliki apa yang disebut satuan.
.
Lalu apakah
satuan itu? Tidak banyak yang dapat menjawabnya. Saya kemudian
menjelaskannya dari yang termudah dahulu, yaitu panjang. Sesuai dengan
namanya, yakni "satuan," maka artinya adalah suatu patokan pengukuran
yang dianggap memiliki nilai satu. Taruhlah kita mempunyai seutas benang
dan kita ingin mengetahui panjangnya. Tentu kita tidak serta merta
dapat mengetahuinya. Kita perlu membandingkannya dengan suatu pedoman
atau patokan tertentu. Di zaman dahulu, orang menggunakan anggota tubuh
sebagai patokan; misalnya adalah panjang telapak tangan kita. Panjang
telapak tangan itu kita sebut "satu" telapak. Lalu kita bandingkan
panjang telapak tangan dengan panjang benang yang kita miliki. Caranya
kita luruskan dan tempelkan benang itu pada telapak tangan kita.
Ternyata benang itu masih ada sisanya. Kita geser dan tempelkan lagi
bagian berikutnya. Demikian sampai benang itu habis. Ternyata panjang
benang itu sesuai dengan tiga kali panjang telapak tangan kita.
Karenanya, kita boleh menyebut panjang benang itu sebagai "tiga telapak
tangan." Telapak tangan itulah yang disebut "satuan." Kalau kita balik
pengertiannya, panjang benang tiga telapak tangan, artinya adalah
panjang benang itu sanggup menampung panjang tiga telapak tangan kita.
.
Di masa belakangan, pengukuran berdasarkan anggota tubuh itu tidak
dapat lagi dilakukan karena ukuran tubuh tiap orang berbeda-beda.
Singkat cerita, akhirnya orang menemukan satuan yang berlaku universal
atau dapat diterima lebih banyak orang. Dikenal apa yang disebut sebagai
sistim metrik; misalnya meter, desimeter, centimeter, dan lain
sebagainya.
.
Jadi, panjang dua meter artinya panjang tersebut dapat
menampung dua buah satuan meter atau setara dengan dua buah satuan
berupa meter. Meter itulah yang disebut satuan panjang.
.
Lalu
bagaimana dengan luas? Luas juga sama. Pertama-tama, juga perlu
ditentukan apa itu satuan luas. Satuan luas adalah ukuran luas yang
bernilai satu. Gambarannya adalah sebuah persegi yang sisi-sisinya
masing-masing sebesar satu satuan panjang. Bukanlah sebuah persegi itu
luasnya akan menjadi satu satuan luas karena luasnya adalah sisi dikali
sisi? Kemudian kita bandingkan ada berapa banyak persegi semacam itu
yang dapat ditampung oleh sebuah bidang. Jadi, jika sebuah bidang dapat
menampung 10 buah persegi semacam itu, maka luasnya adalah 10 satuan
luas.Satuan luas di sini contohnya banyak ada km2, hm2, dam2, m2, dm2,
cm2, mm2 dan lain sebagainya. Jadi, luas 10 m2 artinya bidang tersebut
dapat menampung 10 buah persegi dengan luas satu satuan luas; dalam hal
ini adalah meter persegi (m2).
.
Berikutnya, kita dapat menjelaskan
mengenai volume dengan cara yang sama. Kita bayangkan satuan volume
berupa kubus yang masing-masing rusuknya sebesar satu satuan luas. Tentu
saja volumenya akan menjadi satu satuan luas pangkat 3 (kubik). Jadi,
jika kita sebut volumenya adalah 150 dm3, artinya bangun ruang tersebut
dapat menampung 150 kubus dengan volume 1 dm3.
.
Demikian, saya menjelaskan mengenai konsep satuan panjang, luas, dan volume. (Ivan Taniputera 28 Maret 2018)
Pada
kesempatan kali ini saya ingin membahas persamaan a^n+b^n = c^n, dimana
a, b, c, dan n merupakan bilangan bulat. Untuk n lebih besar
dibandingkan 2, maka tidak terdapat nilai a, b, dan c yang memenuhi
persamaan tersebut. Hal ini disebut Teorema Terakhir Fermat.
.
Untuk membuktikan bagi nilai n lebih besar dibandingkan 2, saya akan menuliskan kembali persamaan di atas menjadi:
Kini
kita perlu mengulas terlebih dahulu mengenai Teorema Phytagoras dan
Tigaan Phytagoras (Phytagorean Triple), khususnya Tigaan Phytagoras
Primitif (Primitive Phytagorean Triple); yakni tiga bilangan yang
memenuhi Teorema Phytagoras, namun tidak mempunyai faktor sama (common
factor).
.
Teorema Phytagoras: a^2 + b^2 = c^2.
Contoh Tigaan Phytagoras Primitif adalah 3, 4, dan 5.
3 ^2 + 4^2 = 5^2
9 + 16 = 25.
.
Tigaan
Phytagoras dapat dibentuk melalui mengalikan Tigaan Phytagoras Primitif
dengan bilangan bulat tertentu yang sama. Sebagai contoh kita ambil 3,
4, dan 5. Kita akan mengalikan masing-masing Tigaan Phytagoras
Primitif tersebut dengan 2 dan mendapatkan:
.
6, 8, dan 10.
.
Ketiga angka tersebut merupakan Tigaan Phytagoras berikutnya.
.
6^2 + 8^2 = 10^2.
36 + 64 = 100.
.
Dengan demikian, kita dapat menuliskan Teorema Phytagoras sebagai:
.
p.a^2
+ p.b^2 = p.c^2. Dengan p = 1,2,3,...... dan a, b, serta c merupakan
Tigaan Phytagoras Primitif. Jadi, sekali lagi ketiganya harus dikalikan
dengan bilangan bulat yang sama. Jika masing-masing dikalikan dengan
bilangan bulat yang berbeda, maka persamaan Phytagoras itu tidak akan
terpenuhi.
.
Kini kita akan kembali pada persamaan sebelumnya.
.
a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).
a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k
.
Pada
persamaan di atas a^2 dikalikan a^k; b^2 dikalikan dengan b^k; c^2
dikalikan dengan c^k. Agar terdapat nilai a, b, dan c berupa bilangan
bulat yang memenuhi teorema Phytagoras, maka:
.
.
a^k = b^k = c^k
.
Dengan demikian, yang mungkin adalah a=b=c. Padahal a, b, dan c harus
merupakan tiga bilangan bulat berbeda. Itulah sebabnya, kita dapat
menyimpulkan bahwa mustahil ada tiga bilangan bulat yang memenuhi
persamaan a^n + b^n = c^n untuk n lebih besar dibandingkan 2.
MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30.
.
Ivan Taniputera.
15 Agustus 2017.
.
Saya baru saja mendapatkan teka teki matematika sebagai berikut.
.
.
Teka-teki
tersebut jika dituangkan dengan kata-kata kurang lebih bunyinya adalah
sebagai berikut. Kita diberikan delapan bola biliar masing-masing
berangka: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan 15. Selanjutnya, kita diminta
memilih tiga bola yang yang angkanya berjumlah 30.
.
Jika
kita menggunakan cara berpikir konvensional, tentu tidak akan ketemu.
Beberapa orang, mungkin akan mencoba solusi sebagai berikut.
Misalkan salah satu bola adalah 15; maka
kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi
15. Jadi, misalkan bola yang satu adalah 13, maka satunya harus berangka
2, yang ternyata tidak ada. Misalkan satunya bola berangka 11, maka
satunya harus berangka 14, yang ternyata juga tidak ada. Misalkan bola
yang satu berangka 9, maka bola satunya harus berjumlah 6; yang ternyata
juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 7, maka bola satunya harus
berangka 8; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka
5, maka bola satunya lagi harus berangka 10, yang ternyata juga tidak
ada. Selanjutnya, bila bola yang satu berangka 3, maka yang satunya lagi
harus berangka 12; yang ternyata juga tidak ada. Apabila bola yang satu
berangka 1, maka satunya lagi harus berangka 14; yang ternyata tidak
ada. Kesimpulannya, bola berangka 15 sudah pasti bukan jawabannya.
Kita dapat melanjutkan dengan bola
berangka 13. Apabila salah satu bola berangka 13, maka kedua bola
lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 17. Bila
salah satu 15, maka satunya harus 2 (tidak ada). Kita dapat merumuskan
kemungkinannya sebagai berikut.
11-6 (tidak ada)
9-8 (tidak ada)
7-10 (tidak ada)
5-12 (tidak ada)
3-14 (tidak ada)
1-16 (tidak ada).
.
3. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 11 dan seterusnya.
Ternyata kita tidak menemukan angka-angka yang sesuai.
Biasanya orang akan kebingungan. Lalu apakah jawabannya?
Seperti
yang telah diungkapkan di atas, bila kita menerapkan cara berpikir
konvensional, maka jawabannya tidak akan kita temukan.
Jawabannya
sangat sederhana. BALIKLAH BOLA BERANGKA 9, SEHINGGA ANDA MENDAPATKAN
BOLA BERANGKA 6. Jadi bola yang berangka 9 itu seharusnya berangka 6.
.
Dengan demikian, jawabannya adalah bola berangka 6, 11, dan 13. Untuk jelasnya silakan amati gambar sebagai berikut.
Euclides menyatakan dalam postulatnya, bahwa di antara dua titik hanya dapat dibuat satu garis saja.
.
Saya akan mencoba membuktikan hal ini secara matematis.
.
Misalkan terdapat titik P (a,b) dan Q (c,d). Dengan sumbu x dan sumbu y pada sistim koordinat sembarang.
.
Sudut α adalah sudut yang dibentuk antara garis dan sumbu x. Gambarnya adalah sebagai berikut.
.
Tangen α dirumuskan sebagai (d-b)/(c-a).
.
Karena a,b,c, dan d masing-masing adalah konstanta.
.
Maka dapat disimpulkan bahwa hasil Tangen α adalah juga konstanta.
.
Jadi,
jika a,b,c, dan d adalah konstanta, sehingga Tangen α juga konstanta,
maka hanya dimungkinkan satu sudut dengan sumbu x saja yang dapat
dibentuk oleh garis antara dua titik.
.
Apabila dimungkinkan satu sudut saja yang terbentuk, kesimpulannya juga hanya satu garis saja yang mungkin terbentuk.
.
Dengan demikian, postulat Euclides telah terbukti.
BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?
.
Ivan Taniputera.
15 Mei 2017.
.
Pada
kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0
di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4
x 5 x 6 x.........x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan
menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual
akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan
menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.
.
Pertama-tama
kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil
setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian
antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena
kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup
menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam
bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai
jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan
jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.
.
Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.
.
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.
.
Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.
Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:
,
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2x5).
10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.
,
Total
perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut
pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh
menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol.
Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya
diikuti oleh dua angka nol.
.
Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.
.
30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x.........x 28 x 29 x 30.
.
Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:
.
5, 10, 15, 20, 25, dan 30.
.
5 = 1 x 5
10 = 2 x 5
15 = 3 x 5
20 = 4 x 5
25 = 5^2
30 = 5 x 6
.
Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x.........29
Jadi
secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti
oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah
265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti
oleh tujuh angka 0.
.
Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.
.
Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:
.
(5^n).x.
Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)
.
Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.
Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.
.
Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.
kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.
.
5^2 = 25
5^3 = 125
5^4 = 625
5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).
.
Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4. .
Untuk
nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 =
1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak
berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita
akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin.
Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal
ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.
.
Kini kita akan menghitung untuk n = 3. .
Untuk
n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang
mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni
sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.
.
Kita akan menghitung untuk n = 2. .
Untuk
n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang
mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga
79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.
.
Kita akan menghitung untuk n = 1 .
Untuk
n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang
mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga
403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1
Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.
.
Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).
.
Kini
tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima
bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.
.
Karenanya kita boleh menuliskan:
.
2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x......x 2017.
.
Dengan
demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka
0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual,
kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu
bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!
Ternyata
gambar itu membicarakan mengenai “paradoks pembohong” (liar paradox).
Ini merupakan salah satu teka-teki dan logika filsafat klasik di dunia.
Beberapa orang sudah memberikan pemecahannya, namun kali ini saya akan
mencoba mengemukakan pemecahan berdasarkan pemikiran saya sendiri.
.
Bagi yang belum memahami apa itu “paradoks pembohong” saya akan memaparkannya secara singkat dan sederhana.
.
Terdapat
seseorang pembohong yang seluruh perkataannya adalah kebohongan. Suatu
kali ia mengatakan sesuatu seperti “aku pembohong” atau “pernyataan ini
salah.” Permasalahannya adalah sebagai berikut. Bila pernyataan “aku
pembohong” adalah benar, maka yang dikatakannya itu adalah bukan
kebohongan. Dengan demikian pernyataan di atas, yakni “seluruh
perkataannya adalah kebohongan” tidak lagi berlaku. Terjadi kontradiksi
di sini. Begitu pula bila pernyataan itu dianggap kebohongan, maka yang
benar adalah ia sesungguhnya bukan pembohong. Jadi, terjadi pula
kontradiksi di sini.
.
Ringkasnya:
.
Jika
“aku pembohong” bernilai BENAR (TRUE), maka ia telah mengatakan hal
yang sebenarnya. Jadi definisi bahwa “seluruh perkataannya adalah
kebohongan” menjadi bernilai SALAH (FALSE).
Jika
“aku pembohong” bernilai SALAH (FALSE), maka ia adalah “bukan
pembohong” sehingga juga bertentangan pula dengan definisinya.
.
Begitu
pula, bila “pernyataan ini salah” bernilai BENAR (TRUE), maka ia telah
mengatakan hal yang sebenarnya, yakni hal itu memang salah. Jadi
definisi bahwa “seluruh perkataannya adalah kebohongan” menjadi bernilai
SALAH (FALSE).
Jika
“pernyataan ini salah” bernilai SALAH (FALSE), maka pernyataan itu
menjadi benar. Dengan demikian, ia telah mengatakan sesuatu yang benar.
Definisi bahwa seluruh perkataannya adalah kebohongan menjadi tidak
berlaku atau bertentangan dengan definisinya.
.
Versi
lain paradoks ini yang pernah saya jumpai adalah mengenai Pinokio. Jika
Pinokio mengatakan, “aku pembohong,” hidungnya akan bertambah panjang
atau pendek? Sebagaimana yang telah kita ketahui, jika berbohong Pinokio
akan bertambah panjang hidungnya.
.
Pemecahan
saya adalah sebagai berikut. Dalam matematika mustahil ada sesuatu yang
bertentangan dengan definisinya. Analogi sederhananya adalah sebagai
berikut. Bilangan bulat ganjil tidak dapat dibagi dua, maka artinya
peluang menemukan bilangan bulat ganjil yang dapat dibagi dua adalah
nol. Setiap bilangan bulat pasti genap atau ganjil. Tidak ada pula
bilangan yang sekaligus genap dan ganjil. Jadi, peluang menemukan
bilangan yang genap dan ganjil sekaligus juga sama dengan nol.
Selanjutnya, tidak ada pula bilangan bulat yang bukan ganjil dan juga
bukan genap. Menemukan bilangan bulat yang bukan ganjil dan juga bukan
genap adalah mustahil. Peluang menemukannya sama dengan nol pula. Jadi,
pernyataan “bilangan bulat ganjil yang dapat dibagi dua,” “bilangan
bulat yang sekaligus ganjil dan genap” dan “bilangan bulat yang bukan
ganjil dan juga bukan genap” adalah kemustahilan serta bersifat ambigu.
Semua itu dikarenakan pertentangan dengan definisinya.
.
Analogi
lain adalah lingkaran. Lingkaran dalam matematika didefinisikan sebagai
himpunan seluruh titik yang berjarak sama dengan sebuah titik pusat,
yang dalam hal ini disebut titik pusat lingkaran. Apakah ada lingkaran
yang berbentuk persegi? Jawabnya tidak ada, karena akan bertentangan
dengan definisi di atas. Titik-titik pada sebuah persegi mustahil
semuanya akan mempunyai jarak yang sama dengan suatu titik pusat. Apakah
ada lingkaran yang sekaligus persegi? Jawabnya tidak ada, karena itu
merupakan sesuatu yang ambigu. Kesimpulannya, definisi menghindarkan
sesuatu yang bersifat ambigu. Dengan kata lain, sesuatu yang bersifat
ambigu akan “ditapis” atau “disaring” keluar.
.
.
Kembali
pada paradoks di atas. Apabila definisi sudah jelas menyatakan
“seluruh perkataannya adalah kebohongan,” maka pernyataan bersifat
ambigu seperti “aku pembohong” mustahil dinyatakan oleh seseorang yang
“seluruh perkataannya adalah kebohongan.” Begitu pula mustahil terdapat
bilangan bulat yang sekaligus ganjil dan genap atau bilangan bulat yang
bukan ganjil dan genap. Peluang seseorang yang seluruh perkataannya
adalah kebohongan menyatakan “aku pembohong” adalah sama dengan nol.
1) Jika nilai semua siswa pulang maka tidak ada pelajaran. Tentukan ingkarannya.
.
Jawaban:
.
Kita akan menggunakan rumus:
.
~(p→q)≡ (p ᴧ ~q)
.
Jadi ingkarannya adalah: semua siswa pulang dan ada pelajaran.
.
2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.
.
Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil.
.
2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.
.
Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil.
.
Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:
.
a^2+1 < 2
a^2-1 < 0
(a+1)(a-1) < 0
.
Untuk a< -1 dan a > 1 nilainya akan selalu lebih besar 0
(positif). Sedangkan untuk -1 < a < 1 nilainya akan selalu lebih
kecil 0 (negatif). Tidak semua nilainya lebih kecil 0. Jadi tidak semua nilai a kuadrat ditambah 1 akan lebih kecil dibandingkan 2.
Misalkan
kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga
sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari
segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit
dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut
satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.
.
Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).
Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).
.
Keliling
segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni
panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).
Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).
= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).
.
Apabila
nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran.
Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran.
Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali
tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh
karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI;
maka kita dapat menyimpulkan.
limit n-->tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.
.
Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.
.
.
Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut.
,
Unuk n = 4, nilainya adalah 4.
n = 5, nilainya adalah 3.63271264
n = 10, nilainya adalah 3.249196962
n = 20, nilainya adalah 3.167688806
n = 50, nilainya adalah 3.145733363
n = 100, nilainya adalah 3.142626604
n = 200, nilainya adalah 3.141851065
n = 500, nilainya adalah 3.141633996
n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655
n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654
.
Jadi
jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati
PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.
.
Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
.
.
Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.
