MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN
.

Ivan Taniputera. 

26 September 2015
.

Apakah dapat kita membuktikan suatu bilangan merupakan kelipatan 7 tanpa pembagian, khususnya yang berdigit besar? Ya, jawabannya adalah dapat! Namun kita harus sudah mengetahui 12 bilangan asli pertama yang dapat dibagi dengan tujuh, yakni:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, dan 96.

 .
Agar jelasnya kita akan langsung mempraktikkannya dengan mengambil 649.349 sebagai contoh.

Pertama kurangkan 649.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 630.000.
.

649.349 

630.000 

----------- - 

  19.349

.

Kurangkan kembali 19.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 14.000.
.

19.349 

14.000 

 --------- - 

  5.349
.

Kurangkan kembali 5.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 4.900.
.

5.349 

4.900 

------- - 

   449

.
Kurangkan kembali 449 denga salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 420.
.

449 

420 

----- - 

  29

 .
Ternyata 29 bukan merupakan kelipatan 7. 

 .
Jadi 649.349 bukan kelipatan 7.
.

Intinya kita mengurangkan terus hingga jumlahnya lebih kecil dari 96. 

Jika hasil akhirnya merupakan kelipatan tujuh, maka bilangan tersebut kelipatan 7.
.

Silakan Anda coba dengan digit-digit lain yang lebih besar.
.

Secara matematis, kita dapat menuliskan metoda di atas sebagai berikut:

A - 7a - 7b - 7c - ........... = x

A adalah bilangan yang hendak kita cari apakah merupakan kelipatan tujuh atau bukan. 

7a, 7b, 7c, dan seterusnya, mewakili perkalian 12 bilangan asli pertama kelipatan tujuh dengan kelipatan 10. 

x adalah hasil akhir atau sisanya.

 .
Jika x merupakan keliatan 7, maka kita dapat menuliskan x sebagai 7X (sebagai pembeda, maka saya pergunakan X dengan huruf besar).

 .
Jadi: A - 7a - 7b - 7c -.......... = 7X
.

Kita pindahkan 7a, 7b, 7c, dan seterusnya ke ruas kanan.
.

A = 7X + 7a + 7b + 7c+ ...........
.

Lalu kita mengeluarkan angka 7
.

A = 7 (X + a + b + c + ....................)
.

Jadi terbukti bahwa A merupakan kelipatan 7.
.

Namun jika x bukan kelipatan 7, setelah 7a, 7b, 7c, dan seterusnya dipindah ke ruas kanan, maka angka 7 tidak dapat dikeluarkan, sehingga jelas sekali bahwa A bukan kelipatan 7.
.

Mudah dan sederhana, bukan?
.

MENENTUKAN APAKAH SEBUAH BILANGAN MERUPAKAN KELIPATAN 3

MENENTUKAN APAKAH SEBUAH BILANGAN MERUPAKAN KELIPATAN 3

Ivan Taniputera

6 September 2013

Sewaktu masih duduk di bangku Sekolah Dasar, saya diajarkan bahwa ciri khas bilangan kelipatan tiga adalah jika masing-masing angka digitnya dijumlahkan, maka hasilnya juga akan merupakan kelipatan tiga. 

Sebagai contoh adalah apakah 171 merupakan kelipatan tiga? Mari kita jumlahnya angka-angka digitnya: 1+7+1 dan hasilnya adalah 9. Sembilan adalah kelipatan 3, jadi 171 merupakan kelipatan tiga. Memang benar bahwa 171 = 3 x 57. Apakah 671 kelipatan tiga? Mari kita jumlahkan digit-digitnya. 6+7+1 = 14, karena 14 bukan kelipatan 3, maka 671 bukan kelipatan tiga. 

Namun karena masih duduk di bangku Sekolah Dasar, tentu saja saya belum diajarkan latar belakang atau bukti matematis bagi perhitungan tersebut.

Meskipun demikian, saya tergerak mencoba mencari bukti matematisnya, mengapa bilangan jika jumlah digitnya merupakan kelipatan tiga, maka bilangan itu juga kelipatan tiga. Tentu harus ada bukti matematis yang melatar-belakangi hal ini. Saya coba melakukan analisa matematis sebagai berikut.

Misalkan terdapat bilangan  .....edcba, dengan a, b, c, d, e, dst.. merupakan digit-digit angka tersebut. Jadi a merupakan satuan, b merupakan puluhan, c merupakan ratusan, d merupakan ribuan, e merupakan puluhan ribu, dan seterusnya. 

Dengan demikian jumlah digit-digitnya adalah a + b + c + d + e +......, yang kita misalkan merupakan kelipatan 3. Kita dapat menuliskannya sebagai berikut: a + b + c + d + e +...... = 3N. Dengan N adalah sembarang bilangan bulat  bukan nol. Ini kita sebut persamaan pertama.

.... edcba dapat kita tulis sebagai a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e. Ini kita sebut persamaan kedua.

Kini tugas kita adalah menghubungkan persamaan pertama dan kedua.

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = (a + b + c + d + e +......) + (9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + .....)

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = 3N + 9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + .....

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = 3N + 3*3.b + 3*33.c + 3*333.d + 3*3333.e +........

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +......= 3 (N + 3.b + 33.c + 333.d + 3333.e + ...........)

Dengan demikian, perhitungan di atas membuktikan bahwa selama hasil penjumlahan angka-angka digit sebuah bilangan merupakan kelipatan tiga, maka bilangan itu juga pasti akan merupakan kelipatan tiga. Dengan demikian terbukti sudah.

Matematika sungguh menyenangkan.