MENENTUKAN APAKAH SEBUAH BILANGAN MERUPAKAN KELIPATAN 3

MENENTUKAN APAKAH SEBUAH BILANGAN MERUPAKAN KELIPATAN 3

Ivan Taniputera

6 September 2013

Sewaktu masih duduk di bangku Sekolah Dasar, saya diajarkan bahwa ciri khas bilangan kelipatan tiga adalah jika masing-masing angka digitnya dijumlahkan, maka hasilnya juga akan merupakan kelipatan tiga. 

Sebagai contoh adalah apakah 171 merupakan kelipatan tiga? Mari kita jumlahnya angka-angka digitnya: 1+7+1 dan hasilnya adalah 9. Sembilan adalah kelipatan 3, jadi 171 merupakan kelipatan tiga. Memang benar bahwa 171 = 3 x 57. Apakah 671 kelipatan tiga? Mari kita jumlahkan digit-digitnya. 6+7+1 = 14, karena 14 bukan kelipatan 3, maka 671 bukan kelipatan tiga. 

Namun karena masih duduk di bangku Sekolah Dasar, tentu saja saya belum diajarkan latar belakang atau bukti matematis bagi perhitungan tersebut.

Meskipun demikian, saya tergerak mencoba mencari bukti matematisnya, mengapa bilangan jika jumlah digitnya merupakan kelipatan tiga, maka bilangan itu juga kelipatan tiga. Tentu harus ada bukti matematis yang melatar-belakangi hal ini. Saya coba melakukan analisa matematis sebagai berikut.

Misalkan terdapat bilangan  .....edcba, dengan a, b, c, d, e, dst.. merupakan digit-digit angka tersebut. Jadi a merupakan satuan, b merupakan puluhan, c merupakan ratusan, d merupakan ribuan, e merupakan puluhan ribu, dan seterusnya. 

Dengan demikian jumlah digit-digitnya adalah a + b + c + d + e +......, yang kita misalkan merupakan kelipatan 3. Kita dapat menuliskannya sebagai berikut: a + b + c + d + e +...... = 3N. Dengan N adalah sembarang bilangan bulat  bukan nol. Ini kita sebut persamaan pertama.

.... edcba dapat kita tulis sebagai a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e. Ini kita sebut persamaan kedua.

Kini tugas kita adalah menghubungkan persamaan pertama dan kedua.

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = (a + b + c + d + e +......) + (9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + .....)

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = 3N + 9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + .....

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = 3N + 3*3.b + 3*33.c + 3*333.d + 3*3333.e +........

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +......= 3 (N + 3.b + 33.c + 333.d + 3333.e + ...........)

Dengan demikian, perhitungan di atas membuktikan bahwa selama hasil penjumlahan angka-angka digit sebuah bilangan merupakan kelipatan tiga, maka bilangan itu juga pasti akan merupakan kelipatan tiga. Dengan demikian terbukti sudah.

Matematika sungguh menyenangkan.