MENYELESAIKAN SOAL GRAFIK FUNGSI KUADRAT

MENYELESAIKAN SOAL GRAFIK FUNGSI KUADRAT.

.

Ivan Taniputera

08 Oktober 2019

.

1. Gambarlah grafik-grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.

.

a. y=½x²

.

Ini merupakan persamaan kuadrat yang mempunyai sumbu y sebagai sumbu simetrinya dan titik (0,0) sebagai titik lembahnya. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat ini, kita akan membuat tabel sebagai berikut.

.

.

Dengan demikian grafik fungsi kuadrat itu melalui titik-titik (-3, 4,5), (-2, 2), (-1, 0,5), (0,0), (1, 0,5), (2,2), dan (3, 4,5). Kita dapat menggambarkannya sebagai berikut:

.

.

b.y=-½x²

.

Ini merupakan persamaan kuadrat yang mempunyai sumbu y sebagai sumbu simetrinya dan titik (0,0) sebagai titik puncaknya. Caranya sama dengan 1.a. Kita buat tabel sebagai berikut:

.

 ,

Dengan demikian grafik fungsi kuadrat itu melalui titik-titik (-3, -4,5), (-2, -2), (-1, -0,5), (0,0), (1, -0,5), (2,-2), dan (3, -4,5). Kita dapat menggambarkannya sebagai berikut:

.

.
c. y=x²+3x+2.

Untuk menggambar grafik persamaan kuadrat ini, kita faktorkan terlebih dahulu menjadi (x+1)(x+2).

Kita cari terlebih dahulu titik potongnya dengan sumbu x, yakni bila y = 0. Hal ini akan dipenuhi bagi nilai x: x1 = -1 dan x2 = -2. Dengan demikian, titik-titik potongnya terhadap sumbu x adalah (-1, 0) dan (-2, 0). Titik potong dengan sumbu y bila x = 0, sehingga y = 2. Dengan demikian, titik potongnya terhadap sumbu y adalah (0, 2).

.

Rumus koordinat titik puncak bagi persamaan kuadrat adalah:

xp = -b/2a.

Dalam hal ini, a = 1 dan b = 3.

Jadi, xp = -1,5.

Substitusikan nilai ini ke persamaan kuadrat.

yp = (-1,5)^2 + 3.(-1,5) + 2.

yp = 2,25 - 4,5 + 2

yp = -0,25.

.

Jadi titik puncaknya adalah (-1,5, -0,25).

.

Itulah sebabnya, grafik persamaan kuadrat ini akan melalui titik-titik (-1,0), (-2.0), (0,2), dan (-1,5, -0,25). Kita sudah dapat menggambarkannya sebagai berikut.

.

.

Bantuan pengerjaan soal matematika dan fisika berbayar, hubungi: https://www.facebook.com/ivan.taniputera

.

PENGERTIAN SATUAN

PENGERTIAN SATUAN

Ivan Taniputera

28 Maret 2018

.

Saya iseng-iseng bertanya pada beberapa siswa. Jika di soal terdapat pernyataan panjang = 2 m, luas = 10 m2, volume = 150 dm3. Apakah maksud semua itu? Sebagian besar masih bingung menjawab. Mungkin mereka belum paham dengan apa yang dimaksud satuan. Semua besaran dalam fisika, baik itu pokok maupun turunan memiliki apa yang disebut satuan. 

.

Lalu apakah satuan itu? Tidak banyak yang dapat menjawabnya. Saya kemudian menjelaskannya dari yang termudah dahulu, yaitu panjang. Sesuai dengan namanya, yakni "satuan," maka artinya adalah suatu patokan pengukuran yang dianggap memiliki nilai satu. Taruhlah kita mempunyai seutas benang dan kita ingin mengetahui panjangnya. Tentu kita tidak serta merta dapat mengetahuinya. Kita perlu membandingkannya dengan suatu pedoman atau patokan tertentu. Di zaman dahulu, orang menggunakan anggota tubuh sebagai patokan; misalnya adalah panjang telapak tangan kita. Panjang telapak tangan itu kita sebut "satu" telapak. Lalu kita bandingkan panjang telapak tangan dengan panjang benang yang kita miliki. Caranya kita luruskan dan tempelkan benang itu pada telapak tangan kita. Ternyata benang itu masih ada sisanya. Kita geser dan tempelkan lagi bagian berikutnya. Demikian sampai benang itu habis. Ternyata panjang benang itu sesuai dengan tiga kali panjang telapak tangan kita. Karenanya, kita boleh menyebut panjang benang itu sebagai "tiga telapak tangan." Telapak tangan itulah yang disebut "satuan." Kalau kita balik pengertiannya, panjang benang tiga telapak tangan, artinya adalah panjang benang itu sanggup menampung panjang tiga telapak tangan kita. 

.
Di masa belakangan, pengukuran berdasarkan anggota tubuh itu tidak dapat lagi dilakukan karena ukuran tubuh tiap orang berbeda-beda. Singkat cerita, akhirnya orang menemukan satuan yang berlaku universal atau dapat diterima lebih banyak orang. Dikenal apa yang disebut sebagai sistim metrik; misalnya meter, desimeter, centimeter, dan lain sebagainya.

.
Jadi, panjang dua meter artinya panjang tersebut dapat menampung dua buah satuan meter atau setara dengan dua buah satuan berupa meter. Meter itulah yang disebut satuan panjang.

.
Lalu bagaimana dengan luas? Luas juga sama. Pertama-tama, juga perlu ditentukan apa itu satuan luas. Satuan luas adalah ukuran luas yang bernilai satu. Gambarannya adalah sebuah persegi yang sisi-sisinya masing-masing sebesar satu satuan panjang. Bukanlah sebuah persegi itu luasnya akan menjadi satu satuan luas karena luasnya adalah sisi dikali sisi? Kemudian kita bandingkan ada berapa banyak persegi semacam itu yang dapat ditampung oleh sebuah bidang. Jadi, jika sebuah bidang dapat menampung 10 buah persegi semacam itu, maka luasnya adalah 10 satuan luas.Satuan luas di sini contohnya banyak ada km2, hm2, dam2, m2, dm2, cm2, mm2 dan lain sebagainya. Jadi, luas 10 m2 artinya bidang tersebut dapat menampung 10 buah persegi dengan luas satu satuan luas; dalam hal ini adalah meter persegi (m2).

.
Berikutnya, kita dapat menjelaskan mengenai volume dengan cara yang sama. Kita bayangkan satuan volume berupa kubus yang masing-masing rusuknya sebesar satu satuan luas. Tentu saja volumenya akan menjadi satu satuan luas pangkat 3 (kubik). Jadi, jika kita sebut volumenya adalah 150 dm3, artinya bangun ruang tersebut dapat menampung 150 kubus dengan volume 1 dm3. 

.
Demikian, saya menjelaskan mengenai konsep satuan panjang, luas, dan volume. (Ivan Taniputera 28 Maret 2018)

TENTANG a^n + b^n = c^n

TENTANG a^n + b^n = c^n

.

Ivan Taniputera.

4 Agustus 2018.

.

Pada kesempatan kali ini saya ingin membahas persamaan a^n+b^n = c^n, dimana a, b, c, dan n merupakan bilangan bulat. Untuk n lebih besar dibandingkan 2, maka tidak terdapat nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan tersebut. Hal ini disebut Teorema Terakhir Fermat.

.

Untuk membuktikan bagi nilai n lebih besar dibandingkan 2, saya akan menuliskan kembali persamaan di atas menjadi:

.

a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).
.
a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k.
.

dengan k adalah 1, 2, 3, ...........

.

Kini kita perlu mengulas terlebih dahulu mengenai Teorema Phytagoras dan Tigaan Phytagoras (Phytagorean Triple), khususnya Tigaan Phytagoras Primitif (Primitive Phytagorean Triple); yakni tiga bilangan yang memenuhi Teorema Phytagoras, namun tidak mempunyai faktor sama (common factor).

.

Teorema Phytagoras: a^2 + b^2 = c^2.

Contoh Tigaan Phytagoras Primitif adalah 3, 4, dan 5.

3 ^2 + 4^2 = 5^2

9 + 16 = 25.

.

Tigaan Phytagoras dapat dibentuk melalui mengalikan Tigaan Phytagoras Primitif dengan bilangan bulat tertentu yang sama. Sebagai contoh kita ambil 3, 4, dan 5. Kita akan mengalikan masing-masing Tigaan Phytagoras Primitif tersebut dengan 2 dan mendapatkan:

.

6, 8, dan 10.

.

Ketiga angka tersebut merupakan Tigaan Phytagoras berikutnya.

.

6^2 + 8^2 = 10^2.

36 + 64 = 100.

.

Dengan demikian, kita dapat menuliskan Teorema Phytagoras sebagai:

.

p.a^2 + p.b^2 = p.c^2. Dengan p = 1,2,3,...... dan a, b, serta c merupakan Tigaan Phytagoras Primitif. Jadi, sekali lagi ketiganya harus dikalikan dengan bilangan bulat yang sama. Jika masing-masing dikalikan dengan bilangan bulat yang berbeda, maka persamaan Phytagoras itu tidak akan terpenuhi.

.

Kini kita akan kembali pada persamaan sebelumnya.

.

a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).

a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k

.

Pada persamaan di atas a^2 dikalikan a^k; b^2 dikalikan dengan b^k; c^2 dikalikan dengan c^k. Agar terdapat nilai a, b, dan c berupa bilangan bulat yang memenuhi teorema Phytagoras, maka: .

.

a^k = b^k = c^k

.

Dengan demikian, yang mungkin adalah a=b=c. Padahal a, b, dan c harus merupakan tiga bilangan bulat berbeda. Itulah sebabnya, kita dapat menyimpulkan bahwa mustahil ada tiga bilangan bulat yang memenuhi persamaan a^n + b^n = c^n untuk n lebih besar dibandingkan 2.

BERBAGAI PERSAMAAN KURVA POLAR

BERBAGAI PERSAMAAN KURVA POLAR.

.

Ivan Taniputera.

9 November 2017.

.

1. CISOID

.

Persamaan cisoid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 1/cos(a) - cos(a)

r(a) = sec(a) - cos(a)

.

Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

.

2.STROFOID

.

Persamaannya strofoid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 1/cos(a) - kcos(a)

r(a) = sec(a) - kcos(a).

.

Dengan k > 1.

.

Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

3. KARDIOID

.

Persamaan kardioid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 2pcos(a)+2q

Dengan p dan q adalah konstanta.

.

Gambarnya adalah sebagai berikut:

.

BULAN SIDEREAL DAN SINODIK

BULAN SIDEREAL DAN SINODIK.

.

Ivan Taniputera.

18 Agustus 2017.

.

Sebagai praktisi ilmu Astrologi, kita perlu mengenal pula ilmu Astronomi. Nicolaus Copernicus, Tycho Brahe, dan Johannes Kepler-tokoh-tokoh ternama dalam bidang Astronomi, ternyata adalah para praktisi Astrologi. Agar dapat menghasilkan ramalan yang lebih akurat, mereka lalu meneliti gerakan benda-benda langit, sehingga menemukan berbagai hukum tersohor dalam ilmu Astronomi. Dengan demikian, alangkah baiknya jika kita juga mempelajari ilmu Astronomi.

.

Artikel kali ini akan membahas mengenai apa yang dimaksud dengan bulan sidereal dan bulan sinodik.

.

Bulan Sidereal adalah waktu yang diperlukan oleh bulan berputar mengitari bumi dalam satu lingkaran penuh atau 360 derajat. Sedangkan bulan bulan sinodik adalah waktu yang diperlulan dari satu bulan baru ke bulan baru berikutnya. Keduanya tidaklah memiliki rentang waktu yang sama. Mengapa demikian? Jika kita mengambil kedudukan saat suatu bulan baru sebagai acuan, maka saat bulan sudah mengitari bumi dalam satu lingkaran penuh, bumi, bulan, dan matahari belumlah terletak segaris. Padahal letak segaris itu merupakan syarat bagi bulan baru. Itulah sebabnya, bulan harus bergerak sedikit lagi agar letaknya menjadi segaris dengan bumi beserta matahari dan bulan baru terjadi kembali. Dengan demikian, bulan sinodis lebih lama dibandingkan bulan sidereal. Agar jelasnya silakan perhatikan gambar sebagai berikut.

.

.

Lama bulan sidereal adalah 27 hari, 7 jam, dan 43 menit atau 27, 32166 hari.

Lama bulan sinodik adalah 29 hari, 12 jam, dan 44 menit atau 29, 53059 hari.

Itulah sebabnya, bulan baru terjadi setiap kurang lebih 29,5 hari.

.

Oleh karenanya kita dapat menghitung bahwa bulan bergerak 360 derajat:27,32166 setiap harinya atau 13,176 derajat.

.

Dengan demikian, kita sudah mengenal mengenai bulan sidereal dan sinodik.

MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30

MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30.

.

Ivan Taniputera.

15 Agustus 2017.

.

Saya baru saja mendapatkan teka teki matematika sebagai berikut.

.

.

Teka-teki tersebut jika dituangkan dengan kata-kata kurang lebih bunyinya adalah sebagai berikut. Kita diberikan delapan bola biliar masing-masing berangka: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan 15. Selanjutnya, kita diminta memilih tiga bola yang yang angkanya berjumlah 30.

.

Jika kita menggunakan cara berpikir konvensional, tentu tidak akan ketemu. Beberapa orang, mungkin akan mencoba solusi sebagai berikut.

1. Misalkan salah satu bola adalah 15; maka kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 15. Jadi, misalkan bola yang satu adalah 13, maka satunya harus berangka 2, yang ternyata tidak ada. Misalkan satunya bola berangka 11, maka satunya harus berangka 14, yang ternyata juga tidak ada. Misalkan bola yang satu berangka 9, maka bola satunya harus berjumlah 6; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 7, maka bola satunya harus berangka 8; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 5, maka bola satunya lagi harus berangka 10, yang ternyata juga tidak ada. Selanjutnya, bila bola yang satu berangka 3, maka yang satunya lagi harus berangka 12; yang ternyata juga tidak ada. Apabila bola yang satu berangka 1, maka satunya lagi harus berangka 14; yang ternyata tidak ada. Kesimpulannya, bola berangka 15 sudah pasti bukan jawabannya.
2. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 13. Apabila salah satu bola berangka 13, maka kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 17. Bila salah satu 15, maka satunya harus 2 (tidak ada). Kita dapat merumuskan kemungkinannya sebagai berikut.

11-6 (tidak ada)

9-8 (tidak ada)

7-10 (tidak ada)

5-12 (tidak ada)

3-14 (tidak ada)

1-16 (tidak ada).

.

3. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 11 dan seterusnya.

Ternyata kita tidak menemukan angka-angka yang sesuai.

Biasanya orang akan kebingungan. Lalu apakah jawabannya?

Seperti yang telah diungkapkan di atas, bila kita menerapkan cara berpikir konvensional, maka jawabannya tidak akan kita temukan.

Jawabannya sangat sederhana. BALIKLAH BOLA BERANGKA 9, SEHINGGA ANDA MENDAPATKAN BOLA BERANGKA 6. Jadi bola yang berangka 9 itu seharusnya berangka 6.

.

Dengan demikian, jawabannya adalah bola berangka 6, 11, dan 13. Untuk jelasnya silakan amati gambar sebagai berikut.

.

BUKTI POSTULAT EUCLIDES

BUKTI POSTULAT EUCLIDES

.

Ivan Taniputera.

4 Agustus 2017.

.

Euclides menyatakan dalam postulatnya, bahwa di antara dua titik hanya dapat dibuat satu garis saja.

.

Saya akan mencoba membuktikan hal ini secara matematis.

.

Misalkan terdapat titik P (a,b) dan Q (c,d). Dengan sumbu x dan sumbu y pada sistim koordinat sembarang.

.

Sudut α adalah sudut yang dibentuk antara garis dan sumbu x. Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

Tangen α dirumuskan sebagai (d-b)/(c-a).

.

Karena a,b,c, dan d masing-masing adalah konstanta.

.

Maka dapat disimpulkan bahwa hasil Tangen α adalah juga konstanta.

.

Jadi, jika a,b,c, dan d adalah konstanta, sehingga Tangen α juga konstanta, maka hanya dimungkinkan satu sudut dengan sumbu x saja yang dapat dibentuk oleh garis antara dua titik. 

.

Apabila dimungkinkan satu sudut saja yang terbentuk, kesimpulannya juga hanya satu garis saja yang mungkin terbentuk.

.

Dengan demikian, postulat Euclides telah terbukti.