1. Gambarlah grafik-grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.
.
a. y=½x²
.
Ini
merupakan persamaan kuadrat yang mempunyai sumbu y sebagai sumbu
simetrinya dan titik (0,0) sebagai titik lembahnya. Untuk menggambar
grafik fungsi kuadrat ini, kita akan membuat tabel sebagai berikut.
.
.
Dengan
demikian grafik fungsi kuadrat itu melalui titik-titik (-3, 4,5), (-2,
2), (-1, 0,5), (0,0), (1, 0,5), (2,2), dan (3, 4,5). Kita dapat
menggambarkannya sebagai berikut:
.
.
b.y=-½x²
.
Ini
merupakan persamaan kuadrat yang mempunyai sumbu y sebagai sumbu
simetrinya dan titik (0,0) sebagai titik puncaknya. Caranya sama dengan
1.a. Kita buat tabel sebagai berikut:
.
,
Dengan
demikian grafik fungsi kuadrat itu melalui titik-titik (-3, -4,5), (-2,
-2), (-1, -0,5), (0,0), (1, -0,5), (2,-2), dan (3, -4,5). Kita dapat
menggambarkannya sebagai berikut:
.
. c. y=x²+3x+2.
Untuk menggambar grafik persamaan kuadrat ini, kita faktorkan terlebih dahulu menjadi (x+1)(x+2).
Kita
cari terlebih dahulu titik potongnya dengan sumbu x, yakni bila y = 0.
Hal ini akan dipenuhi bagi nilai x: x1 = -1 dan x2 = -2. Dengan
demikian, titik-titik potongnya terhadap sumbu x adalah (-1, 0) dan (-2,
0). Titik potong dengan sumbu y bila x = 0, sehingga y = 2. Dengan
demikian, titik potongnya terhadap sumbu y adalah (0, 2).
.
Rumus koordinat titik puncak bagi persamaan kuadrat adalah:
xp = -b/2a.
Dalam hal ini, a = 1 dan b = 3.
Jadi, xp = -1,5.
Substitusikan nilai ini ke persamaan kuadrat.
yp = (-1,5)^2 + 3.(-1,5) + 2.
yp = 2,25 - 4,5 + 2
yp = -0,25.
.
Jadi titik puncaknya adalah (-1,5, -0,25).
.
Itulah
sebabnya, grafik persamaan kuadrat ini akan melalui titik-titik (-1,0),
(-2.0), (0,2), dan (-1,5, -0,25). Kita sudah dapat menggambarkannya
sebagai berikut.
BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?
.
Ivan Taniputera.
15 Mei 2017.
.
Pada
kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0
di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4
x 5 x 6 x.........x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan
menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual
akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan
menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.
.
Pertama-tama
kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil
setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian
antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena
kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup
menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam
bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai
jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan
jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.
.
Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.
.
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.
.
Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.
Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:
,
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2x5).
10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.
,
Total
perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut
pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh
menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol.
Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya
diikuti oleh dua angka nol.
.
Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.
.
30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x.........x 28 x 29 x 30.
.
Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:
.
5, 10, 15, 20, 25, dan 30.
.
5 = 1 x 5
10 = 2 x 5
15 = 3 x 5
20 = 4 x 5
25 = 5^2
30 = 5 x 6
.
Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x.........29
Jadi
secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti
oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah
265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti
oleh tujuh angka 0.
.
Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.
.
Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:
.
(5^n).x.
Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)
.
Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.
Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.
.
Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.
kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.
.
5^2 = 25
5^3 = 125
5^4 = 625
5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).
.
Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4. .
Untuk
nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 =
1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak
berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita
akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin.
Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal
ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.
.
Kini kita akan menghitung untuk n = 3. .
Untuk
n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang
mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni
sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.
.
Kita akan menghitung untuk n = 2. .
Untuk
n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang
mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga
79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.
.
Kita akan menghitung untuk n = 1 .
Untuk
n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang
mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga
403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1
Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.
.
Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).
.
Kini
tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima
bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.
.
Karenanya kita boleh menuliskan:
.
2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x......x 2017.
.
Dengan
demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka
0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual,
kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu
bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!
1) Jika nilai semua siswa pulang maka tidak ada pelajaran. Tentukan ingkarannya.
.
Jawaban:
.
Kita akan menggunakan rumus:
.
~(p→q)≡ (p á´§ ~q)
.
Jadi ingkarannya adalah: semua siswa pulang dan ada pelajaran.
.
2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.
.
Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil.
.
2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.
.
Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil.
.
Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:
.
a^2+1 < 2
a^2-1 < 0
(a+1)(a-1) < 0
.
Untuk a< -1 dan a > 1 nilainya akan selalu lebih besar 0
(positif). Sedangkan untuk -1 < a < 1 nilainya akan selalu lebih
kecil 0 (negatif). Tidak semua nilainya lebih kecil 0. Jadi tidak semua nilai a kuadrat ditambah 1 akan lebih kecil dibandingkan 2.
Misalkan
kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga
sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari
segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit
dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut
satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.
.
Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).
Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).
.
Keliling
segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni
panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).
Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).
= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).
.
Apabila
nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran.
Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran.
Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali
tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh
karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI;
maka kita dapat menyimpulkan.
limit n-->tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.
.
Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.
.
.
Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut.
,
Unuk n = 4, nilainya adalah 4.
n = 5, nilainya adalah 3.63271264
n = 10, nilainya adalah 3.249196962
n = 20, nilainya adalah 3.167688806
n = 50, nilainya adalah 3.145733363
n = 100, nilainya adalah 3.142626604
n = 200, nilainya adalah 3.141851065
n = 500, nilainya adalah 3.141633996
n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655
n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654
.
Jadi
jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati
PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.
.
Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
.
.
Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.
Apa yang baru saja kita lakukan adalah adalah mengeluarkan x^1/2, x^1/3, dan x.
.
Faktor-faktor yang sama dapat kita coret, sehingga didapatkan:
.
=(x+1)(x^1/3)/(1+x^-1)x.
.
Kita masih dapat menyederhanakannya menjadi:
.
=x^1/3
.
Perhatikan
bahwa 1+x^-1 dapat diubah menjadi (x+1)/x. Lalu x pada bagian penyebut
dapat dicoret. (x+1) pada bagian pembilang dan penyebut juga dapat
saling dicoret.
.
Untuk menguji apakah jawaban di atas benar atau salah kita akan meminta bantuan software Z-Grapher.
Banyak orag yang masih bingung dalam menerapkan permutasi dan kombinasi. Adapun rumus masing-masing adalah sebagai berikut:
Permutasi
P (n,k) = (n!)/(n-k)!
Kombinasi
C (n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)
Pertama-tama kita bahas contoh penggunaan permutasi terlebih dahulu.
Misalkan ada empat orang anak, sebut saja Andy (A), Benny (B), Clara
(C), Doni (D). Di antara keempat anak itu, akan dipilih dua orang
masing-masing sebagai ketua (K) dan wakil ketua kelas (W). Kita diminta
menentukan ada berapa kemungkinan pasangan ketua kelas beserta wakilnya.
Adapun kemungkinannya sebagai berikut (yang disebutkan pertama adalah K, sedangkan yang disebut belakangan adalah W):
1) A, B
2) B, A
3) A, C
4) C, A
5) A, D
6) D, A
7) B, C
8) C, B
9) B, D
10) D, B
11) C, D
12) D, C
Nampak
bahwa terdapat 12 kemungkinan. Dalam hal ini A sebagai ketua dan B
sebagai wakil berbeda dengan B sebagai ketua dan A sebagai wakil. Oleh
karenanya, pada contoh ini, urutan adalah sesuatu yang penting. Anggota
sama tetapi urutan berbeda dianggap berbeda (A, B beda dengan B, A).
Dalam kasus ini kita harus menggunakan PERMUTASI.
P(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.
Dalam kasus kita, n = 4 dan k = 2
P(4,2) = (4!)/(4-2)!
= 12
Kini
kita beralih pada Kombinasi. Contoh kasusnya adalah sebagai berikut.
Anda diberi 4 buah soal, sebut saja A, B, C, dan D. Anda diminta memilih
dan mengerjakan 2 soal saja. Adapun kemungkinannya adalah:
1) A, B
2) A, C
3) A, D
4) B, C
5) B, D
6) C, D
Semua
terdapat 6 kemungkinan. Dalam hal ini, urutan tidak penting. Anda
mengerjakan soal A dahulu baru B atau B dahulu baru A adalah sama. Jika kedua
soal itu Anda kerjakan dengan benar, maka tidak peduli bagaimana pun urutan
Anda mengerjakannya, Anda mendapatkan nilai yang sama.
Guna menyelesaikan soal-soal seperti ini, Anda harus menggunakan KOMBINASI.
C(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.
Teorema sisa suku banyak sebenarnya tidak sulit. Prinsipnya sama dengan konsep pembagian yang pernah kita pelajari sewaktu duduk di bangku sekolah dasar (sd). Sebagai contoh kita ambil 7 dibagi 2.
7 : 2 = 3 sisa 1
3 disebut hasil bagi
1 disebut sisa hasil bagi atau sisa.
Dengan demikian kita boleh juga menuliskan:
7 = 2 x 3 + 1
Begitu pula dengan teorema sisa pembagian suku banyak, konsepnya juga sama.
Sebagai contoh kita hendak membagi sebuah suku banyak f(x), dbagi dengan g(x). misalkan H(x) adalah hasil bagi suku banyak, sedangkan S(x) adalah sisa pembagian suku banyak.
f(x) : g(x) = H(x) + S(x).
Dengan demikian kita boleh pula menuliskan:
f(x) = g(x).H(x) + S(x).
Selanjutnya, Mari kita perhatikan pembagian dengan g(x) = (ax-b) berikut ini.
Sebuah suku banyak f(x) hendak dibagi dengan g(x) = (ax-b). Berapakan sisanya?
Pertama-tama kita akan perlu mencari akar g(x), yakni sebuah nilai x yang dapat menjadikan g(x) bernilai sama dengan 0.
Akar g(x) dapat dicari sebagai berikut.
g(x) = 0
ax-b = 0
x = b/a
Sisa pembagian dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai x = b/a pada f(x). Jadi f(b/a) = S(b/a).
Penjelasannya sebagai berikut.
f(b/a) = g(b/a).H(b/a) + S(b/a)
Ingat bahwa g(b/a) = 0
Jadi:
f(b/a) = 0 + S(b/a)
f(b/a) = S(b/a)
Sangat mudah bukan?
CONTOH SOAL:
f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1 dibagi dengan g(x) = x-2. Berapakan sisanya?
