MENGAPA BENDA SEMAKIN JAUH NAMPAK SEMAKIN KECIL?

MENGAPA BENDA SEMAKIN JAUH NAMPAK SEMAKIN KECIL?

.

Ivan Taniputera.

31 Desember 2016.

.

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengapa benda semakin jauh akan nampak semakin kecil. Mungkin kita belum pernah memikirkan hal itu secara serius. Lalu apakah penyebabnya? Jawabannya adalah karena lensa mata kita merupakan lensa cembung.

.

.

Lalu mengapa jika lensa cembung? Penjelasannya adalah sebagai berikut. Misalkan ada tiga buah benda yang tingginya sama, diletakkan pada jarak berlainan di hadapan sebuah lensa cembung (mewakili lensa mata kita). Lalu gambarlah jalannya sinar pembentuk bayangan bagi ketiga benda tersebut. Hasilnya nampak seperti gambar di bawah ini.

.

Nampak bahwa benda yang lebih dekat dengan lensa cembung akan mempunyai bayangan yang lebih besar. Pada gambar di atas, benda A mempunyai letak paling dekat lensa cembung. Bayangan benda A, yakni yang ditandai dengan A’ nampak paling besar. Semakin jauh letak bendanya dari lensa cembung, bayangannya juga akan semakin mengecil. Bayangan-bayangan inilah yang ditangkap oleh retina kita, sehingga kita sanggup menyaksikan benda-benda tersebut. Jadi, bagi benda yang dekat kita akan menangkap bayangan lebih besar. Itulah akibatnya, semakin dekat letak sebuah benda, nampak pula semakin besar.

PRINSIP-PRINSIP DASAR ALJABAR

PRINSIP-PRINSIP DASAR ALJABAR

.

Ivan Taniputera.

27 November 2016.

.

Saya menulis artikel ini karena menyaksikan banyak siswa dan bahkan orang dewasa yang masih salah dalam menerapkan prinsip-prinsip aljabar. Oleh karenanya, pada kesempatan kali ini, saya akan memaparkan prinsip-prinsip dasar aljabar secara ringkas dan mudah dipahami. Materi yang tercantum dalam artikel ini dapat disetarakan dengan bahan pelajaran kelas VII (SMP kelas 1).

.

Pertama-tama, kita perlu menjelaskan berbagai istilah yang dipergunakan dalam aljabar. Marilah kita perhatikan bentuk aljabar sebagai berikut:

.

2x + 5y = 10.

.

x dan y disebut variabel, karena nilainya belum ditentukan atau dapat diisi dengan bilangan berapa saja.

2 dan 5 disebut sebagai koefisien, yakni angka-angka di depan variabel. Sebagai catatan koefisien 1 tidak perlu ditulis. jadi 1x cukup ditulis x. Jadi dengan demikian kita mengetahui bahwa x mempunyai koefisien 1.

10 disebut sebagai konstanta, karena nilainya merupakan bilangan yang sudah tetap (konstan) atau tidak berubah lagi.

2x, 5y, dan 10 disebut suku-suku aljabar. Jadi ini merupakan bagian-bagian sebuah persamaan aljabar.

.

Kemudian kita akan membahas mengenai apa yang disebut “ruas.” Silakan perhatikan persamaan berikut ini.

2x+5y = 3z - 5 .

Terdapat dua bagian yang dipisahkan oleh tanda sama dengan (=); yakni 2x+5y dan 3z-5. Inilah yang disebut ruas. 2x+5y disebut “ruas kiri,” karena terletak di sebelah kiri; sedangkan 3z-5 disebut “ruas kanan,” karena terletak di sebelah kanan.

.

PRINSIP PERTAMA: Hanya suku-suku sejenis yang dapat dioperasikan melalui penjumlahan dan pengurangan.

.

Suku sejenis adalah suku yang mempunyai variabel sama. Contoh: 2x, 3x, dan 10x adalah suku yang sejenis. Sebaliknya suku-suku yang tidak sejenis tidak dapat dioperasikan.

.

Cara mengoperasikan suku-suku sejenis adalah seperti penjumlahan dan pengurangan biasa. Contoh: 5x + 2x = 7x; 3y + 7y = 10y; 5z-3z = 2z. Jadi yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah koefisiennya, sementara itu variabelnya tetap.

.

Suku tidak sejenis tidak dapat dioperasikan melalui penjumlahan atau pengurangan. Jadi:

10x + 5y hasilnya tetap 10x + 5y: dan bukan 15xy!

.

PRINSIP KEDUA: Cara mengoperasikan suku-suku aljabar melalui perkalian.

.

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan, maka operasi perkalian dapat dilangsungkan pada suku-suku sejenis maupun tidak sejenis.

Suku sejenis dapat dikalikan menjadi bilangan berpangkat. Contoh 2x . 3x = 6x^2 (baca: 6 x pangkat 2). 2y.3y.4y = 24y^3 (baca: 24 y pangkat 3). Koefisiennya dikalikan dan variabelnya dipangkatkan.

.

Cara mengalikan suku-suku yang tidak sejenis adalah sebagai berikut. Contoh: 2x.3y = 6xy. Jadi yang dikalikan adalah koefisiennya dan variabelnya juga demikian.

.

PRINSIP KETIGA: PINDAH RUAS PADA PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

.

Pindah ruas ini masih menjadi sumber kesalahan utama. Prinsipnya cukup mudah. Kita akan membahas penjumlahan dan pengurangan terlebih dahulu. Prinsipnya adalah: Jika terjadi perpindahan ruas, maka suku yang positif menjadi negatif, sebaliknya yang negatif menjadi positif. Siswa yang kurang teliti sering lupa mengubah tanda positif dan negatif tersebut, sehingga terjerumus pada kesalahan. Untuk jelasnya perhatikan contoh sebagai berikut.

3x+5y = 7z-10.

.

Kita akan memindah 7z ke ruas kiri; maka karena 7z adalah positif, begitu dipindahkan akan menjadi negatif:

.

3x+5y-7z = -10.

.

Contoh lain:

.

8x-5y-10=12. Kita hendak memindahkan -10 ke ruas kanan. Karena -10 merupakan bilangan negatif, maka jika dipindahkan ruasnya akan menjadi positif.

8x-5y=12+10

8x-5y=22.

.

Hal yang perlu diperhatikan adalah jika seluruh anggota ruas dipindahkan atau ditukarkan satu sama lain, maka tidak perlu ada pertukaran tanda.

.

8x = 3y

3y = 8x (tidak perlu ada pertukaran tanda)

.

7x+5y=10z-3

10z-3=7x+5y (tidak perlu ada pertukaran tanda)

.

PRINSIP KEEMPAT: PINDAH RUAS PADA PEMBAGIAN DAN PERKALIAN.

.

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan, maka pada pembagian beserta perkalian tidak terjadi pertukaran atau perubahan tanda. Prinsipnya adalah jika pindah ruas, maka pengali akan menjadi pembagi dan pembagi akan menjadi pengali. Silakan perhatikan contoh di bawah ini.

.

5x/y = 10; kita akan memindahkan y ke ruas kanan. Nampak bahwa di ruas kiri y adalah pembagi. Jadi jika dipindahkan ke ruas kanan, y akan menjadi pengali: 5x = 10y.

.

Contoh berikutnya: 10xy = 20. Kita akan memindahkan y ke ruas kanan. Karena y adalah pengali, maka jika dipindahkan ia akan menjadi pembagi: 10x = 20/y.

.

Salah satu kesalahan yang sering dialami para siswa adalah mencampur adukkan dengan prinsip pindah ruas pada operasi penjumlahan atau pengurangan, yakni tandanya ikut diganti. Ini adalah kesalahan fatal yang harus dihindari.

.

PRINSIP LIMA: PINDAH RUAS PADA OPERASI CAMPURAN

.

Maksud operasi campuran adalah suatu persamaan aljabar yang terdapat penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian sekaligus. Hal ini merupakan sesuatu yang cukup rumit dan sering menjadi sumber kesalahan. Kita akan mencoba mengupas berbagai prinsip yang ada secara perlahan, langkah demi langkah, dan bahasa sesederhana mungkin.

.

Prinsip 5.a: Prinsip empat (pengali menjadi pembagi; pembagi menjadi pengali) tidak dapat diterapkan, jika masih terdapat penjumlahan dan pengurangan dengan suku-suku lain.

Contoh: 5x + y = x/z - 2

Kita tidak dapat langsung memindahkan z di ruas kanan ke ruas kiri. Karena masih terdapat pengurangan dengan suku lain, yakni 2. Kesalahan yang beberapa kali saya amati adalah sebagai berikut: (5x+y).z = x-2. Mereka langsung memindahkan z ke ruas kiri sebagai pengali. Ini merupakan KESALAHAN fatal. Lalu apa yang harus dilakukan? Pertama-tama, samakan penyebut pada ruas kanan.

.

5x + y = (x-2z)/z; prinsip menyamakan penyebut ini sama dengan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan, sebagaimana yang telah dipelajari di bangku sekolah dasar (sd).

.

Setelah disamakan penyebutnya seperti di atas, barulah z dapat dipindahkan ke ruas kiri, menjadi: (5x+y).z = x-2z. Mengapa kini boleh dipindahkan padahal masih terdapat operasi pengurangai berupa x-2z? Jawabannya adalah dengan adanya penyamaan penyebut seperti di atas, maka (x-2z) sudah dianggap sebagai satu “kesatuan” yang tidak terpisahkan; jadi seolah-olah (x-2z) itu dianggap sebagai satu suku. Begitu pula saat dipindahkan ke ruas kiri, maka 5x+y juga dipandang sebagai suatu kesatuan, sehingga harus ditulis dalam tanda kurung. Jadi BUKAN: 5xz+7 = x-2z. Ini juga merupakan satu kesalahan fatal, yakni z hanya dikalikan pada salah satu suku saja di ruas kiri.

.

Prinsip 5b. Pada satu suku yang terdapat pembagian (misalnya x/y) yang diikuti oleh penjumlahan atau pengurangan dengan suku lain, maka jika hendak dipindah ruas, keseluruhan suku dengan pembagian itu harus dipindahkan dengan perubahan tanda. Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut ini. .

x/y-5 = 2z+3. Dalam hal ini jika x/y di ruas kiri harus dipindahkan secara keseluruhan jika memang ingin dipindah ke ruas kanan; menjadi -5=2z+3-(x/y). Jadi tidak boleh hanya memindahkan x atau y saja. x dan y dalam x/y harus dianggap sebagai satu kesatuan, selama masih ada operasi penjumlahan beserta pengurangan lain pada ruas tersebut.

.

Hal ini berbeda pada: 5z = x/y. Nampak bahwa tidak ada operasi penjumlahan dan pengurangan lain di ruas kanan; sehingga y di ruas kanan dapat kita pindahkan ke ruas kiri dengan menerapkan prinsip empat, sebagai berikut: 5zy = x.

.

PRINSIP ENAM: MENCORET

.

Pencoretan boleh dilakukan jika pada masing-masing ruas atau suku seluruhnya berupa operasi pembagian dan perkalian. Apabila masih ada operasi penjumlahan dan pengurangan pada suatu ruas atau suku, maka tidak boleh dilakukan pencoretan. Untuk jelasnya, silakan perhatikan contoh-contoh sebagai berikut:

.

2xy = yz. Perhatikan bahwa pada masing-masing ruas, tidak terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan, sehingga y boleh dicoret. Persamaan itu menjadi: 2x = z.

.

contoh lain: 2 = 3xy/y. Dalam hal ini kedua y pada ruas kanan boleh dicoret, sehingga menjadi: 2 = 3x.

.

Meskipun demikian, jika terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan, maka pencoretan tidak boleh dilakukan:

.

2x = 5x + y; maka kedua x tidak boleh dicoret. Contoh lain: 2z = (3x+5y)/y. Kedua y pada ruas kanan tidak boleh dicoret, karena masih ada operasi penjumlahan dengan 3x.

.

Demikianlah prinsip-prinsip dasar terpenting dalam aljabar.

JAWABAN SOAL-SOAL LOGARITMA DAN PECAHAN

JAWABAN SOAL-SOAL LOGARITMA DAN PECAHAN.

.

Ivan Taniputera.

5 September 2016.

.

.

Jawaban soal nomor 1.

Jika a=0,11111.... dan b=0,33333....., tentukan nilai a log b. Catatan a adalah bilangan basis logaritma.

Kita harus mengubah bentuk pecahan desimal berulang menjadi pecahan biasa.

a=0,11111.....

10a=1,11111....

10a-a = 1,11111.....-0,11111....

9a = 1

a = 1/9.

.

b=0,33333.....

10b=3,33333.....

10b-b = 3,33333.....-0,33333......

9b = 3

b = 1/3

.

1/9 = 3^-2

1/3 = 3^-1

.

Jadi:

a log b = 3^-2 log 3^-1

= 1/2.

.

Jawaban soal nomor 2.

.

Jika a-b = akar (12-2.akar 27), tentukan a log b. Catatan a adalah bilangan basis logaritma.

.

(a-b)^2 = 12-2.akar 27

a^2+b^2-2ab = 12-2.akar 27.

.

Jadi ab = akar 27

a^2+b^2 = 12.

.

Oleh karenanya perlu dicari nilai a dan b yang memenuhi persamaan di atas.

Didapatkan a = akar 9 dan b = akar 3.

.

a = 3 dan b = akar 3 ata 3^(1/2).

.

Jadi a log b = 3 log 3^(1/2).

= 1/2.

.

Jawaban soal nomor 3.

.

Tentukan nilai (3 log^2 (36) - 3 log^2 (4))/3 log (akar 12)). Catatan 3 adalah bilangan basis logaritma.

.

Bentuk 3 log^2 (36) - 3 log^2 (4) dapat dianggap sebagai a^2-b^2.

a^2-b^2 dapat diuraikan menjadi (a+b)(a-b).

.

Jadi 3 log^2 (36) - 3 log^2 (4) dapat diuraikan menjadi (3 log (36)+3 log (4))(3 log (36)-3 log (4)).

.

= (3 log (144))(3 log (9))/3 log (12)^1/2

= (3 log (12)^2)(3 log (3)^2)/ (1/2. (3 log (12))

= (2. (3 log (12)))(2)/(1/2.(3 log (12))

= 2.2.2

= 8

.

Jawaban soal nomor 4.

.

Tentukan nilai x yang memenuhi akar (2x+1) = 1/(4^(x-1)).

.

Kita dapat mengubah persamaan di atas sebagai berikut.

.

(2^(x+1))^1/2 = 2^(-2(x-1))

.

Jadi:

1/2 (x+1) = -2x+2

1/2 x + 1/2 = -2x + 2

1/2 x + 2x = 2-(1/2)

5/2 x = 3/2

x = 3/5.

.

Jawaban soal nomor 5.

.

Sederhanakan log (akar((p-1)/(p+1))+1/2.log (p^2-1).

.

= log ((p-1)/(p+1))^1/2+1/2.log(p^2-1)

=1/2.log ((p-1)/(p+1)) + 1/2.log ((p+1)(p-1))

=1/2.(log ((p-1)/(p+1)).((p+1)(p-1))

p+1 dapat dicoret, sehingga

=1/2.log ((p-1)(p-1))

=1/2.log (p-1)^2

= log (p-1).

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

.

Ivan Taniputera.

7 Agustus 2016.

.

Sederhanakan persamaan dengan pangkat pecahan berikut ini:

.

(x^3/2/+x^1/2)(x^1/3-x^-1/3)/(x^1/2+x^-1/2)(x-x^1/3)

.

Pertama-tama akan dipaparkan rumus-rumus yang dipergunakan dalam menyederhanakan persamaan pangkat pecahan di atas.

.

X^a.X^b = X^(a+b)

.

Kita akan menguraikan sebagai berikut:

= (x.x^1/2+x^1/2)(x^1/3-x^1/3.x^-2/3) / (x^1/2+x^1/2.x^-1).(x-x.x^-2/3)

.

Agar tidak bingung, saya akan menjelaskan terlebih dahulu sebagai berikut:

x^3/2 dapat kita uraikan menjadi x.x^1/2; yakni dengan mengacu pada rumus X^a.X^b = X^(a+b).

x.x^1/2; maka a = 1 dan b = 1/2, jadi x^(a+b) = x^3/2.

x^-1/3 dapat kita uraikan menjadi x^1/3.x^-2/3. Ingat bahwa 1/3+(-2/3) = -1/3.

.

Dengan demikian, asal penguraian di atas sudah dijelaskan. Kita dapat melanjutkan dengan langkah berikutnya.

= (x^1/2(x+1))(x^1/3(1-x^-2/3)) / (x^1/2(1+x^-1))(x(1-x^-2/3))

.

Apa yang baru saja kita lakukan adalah adalah mengeluarkan x^1/2, x^1/3, dan x.

.

Faktor-faktor yang sama dapat kita coret, sehingga didapatkan:

.

=(x+1)(x^1/3)/(1+x^-1)x.

.

Kita masih dapat menyederhanakannya menjadi:

.

=x^1/3

.

Perhatikan bahwa 1+x^-1 dapat diubah menjadi (x+1)/x. Lalu x pada bagian penyebut dapat dicoret. (x+1) pada bagian pembilang dan penyebut juga dapat saling dicoret.

.

Untuk menguji apakah jawaban di atas benar atau salah kita akan meminta bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama masukkan Y(x) = ((x^(3/2)+x^(1/2))(x^(1/3)-x^(-1/3)))/((x^(1/2)+x^(-1/2))(x-x^(1/3)))

Kedua masukkan Y(x) = x^1/3.

.

Berikut ini adalah hasilnya.

.

.

Ternyata didapatkan hasil yang sama.

.

Kesimpulan: Jawaban sudah benar.

.

PERSAMAAN GERAK TITIK YANG BERAYUN PADA OBYEK BERGERAK LURUS BERATURAN

PERSAMAAN GERAK TITIK YANG BERAYUN PADA OBYEK BERGERAK LURUS BERATURAN.

.

Ivan Taniputera.

27 Juli 2016.

.

Sebuah boneka besar kucing yang dapat melambai-lambaikan kaki depannya didirikan di atas sebuah mobil untuk reklame. Kaki depan (panjang l m) boneka kucing melambai-lambai dari posisi vertikal ke arah kanan dan kiri, demikian seterusnya (lihat gambar). Titik P terletak pada telapak kaki boneka kucing. Mobil bergerak dengan kecepatan tetap (v m/s). Kecepatan sudut gerakan kaki kucing adalah ω 1/s. Simpangan maksimalnya adalah A. Tentukan persamaan vektor kedudukan titik P terhadap pengamat yang diam.

.

Pertama-tama kita akan menguraikan vektor-vektornya sebagai berikut.

.

.

Berdasarkan gambar di atas, vektor Rb dapat kira uraikan menjadi Rb.Cos ψ (t) selaku komponen pada sumbu y dan Rb.Sin ψ (t) selaku komponen pada sumbu x.

.

Karena ψ (t) tidak melakukan satu putaran penuh, melainkan hanya mencapai sudut maksimal tertentu dan setelah itu berayun ke arah lawannya, maka ψ (t) dapat kita definisikan sebagai A.Sin φ (t). Adapun A adalah simpangan maksimum atau amplitudonya. Dengan kata lain, nilai ψ (t) tidak akan melebihi +A dan -A.

.

φ (t) sendiri didefinisikan sebagai ω t, dengan ω sebagai kecepatan sudutnya.

.

Komponen vektor posisi pada sumbu x dengan demikian adalah (Ra+Rb.Sin(A.Sin φ (t))).ex

Komponen vektor posisi pada sumbu y dengan demikian adalah (Rb.Cos(A.Sin φ (t))).ey.

Vektor Ra dapat didefinisikan sebagai v.t, dengan v adalah kecepatan mobil.

Rb adalah panjang kaki depan kucing atau l.

.

Kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

.

R = (v.t+l.Sin(A.Sin ω.t )).ex + (l.Cos(A.Sin ω.t)).ey.

Dengan demikian, harga v, l, A, dan ω sudah ditentukan.

.

Untuk mengetahui bagaimana bentuk lintasannya kita akan menggunakan software Z-Grapher. Pertama-tama kita akan masukkan harga v=1 m/s, l=1 m, A=0,5 m, dan ω = 1 1/s. Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

.

Kita akan mencoba nilai-nilai lainnya, misalkan v=0,25 m/s, l=1 m A=0,5 m, dan ω = 1 1/s. Ternyata bentuk lintasannya menjadi sebagai berikut:

.

.

Jadi jika gerakan mobil lebih lambat, maka bentuk lintasan juga akan berubah.

.

Kita boleh melakukan eksperimen dengan mengganti nilai-nilai v, l, A, dan ω. Sebagai contoh:

.

v=2 m/s, l=2 m A=0,8 m, dan ω = 1 1/s.

.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING DALAM SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING DALAM SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.

12 Juli 2016

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah silinder sedang menggelinding pada bagian dalam silinder lainnya. Kita akan menentukan bagaimana lintasannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor posisi R(t) = ((R-r).Sin(ω1.t)+r.Sin(ω2.t)).ex+((R-r).Cos(ω1.t)-r.Cos(ω2.t)).ey.

Karena terdapat hubungan Kinematis: ω2=ω1.(R-r)/r, kita dapat menuliskannya kembali sebagai berikut.

Komponen sumbu x = (R-r).Sin(ω1.t)+r.Sin((ω1.(R-r)/r).t)).
Komponen sumbu y = (R-r).Cos(ω1.t)-r.Cos((ω1.(R-r)/r).t)).

Kita misalkan jari-jari roda di bagian tengah (R) adalah 2 meter. Jari-jari roda yang menggelinding (r) adalah 1 meter. Kecepatan sudutnya adalah 1 1/s.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

x(t) = Sin(t)+Sin(t).
y(t) = Cos(t)-Cos(t).

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Lintasannya membentuk garis lurus. Inilah yang disebut lingkaran Cardano.

Kini kita akan mencoba R1=3, sedangkan R2=1

Bentuk di atas disebut episikloid. Sebagai tambahan, bentuknya ditentukan oleh perbandingan R dan r.

R=4, r=1

R=7, r=3

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING PADA SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING PADA SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.

10 Juli 2016.

.Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah silindir sedang menggelinding pada bagian luar silinder lainnya. Kita akan menentukan bagaimana lintasannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor posisi R(t) = ((R1+R2).Sin(ω1.t)+R2.Cos(ω2.t)).ex+((R1+R2).Cos(ω1.t)-R2.Sin(ω2.t)).ey

Karena terdapat hubungan Kinematis: ω2=ω1.(R1+R2)/R2,

Kita dapat menuliskannya kembali sebagai berikut.

Komponen sumbu x = (R1+R2).Sin(ω1.t)+R2.Cos((ω1.(R1+R2)/R2).t)).

Komponen sumbu y = (R1+R2).Cos(ω1.t)-R2.Sin((ω1.(R1+R2)/R2).t))

Kita misalkan jari-jari roda di bagian tengah (R1) adalah 1 meter. Jari-jari roda yang menggelinding (R2) adalah 1 meter. Kecepatan sudutnya adalah 1 1/s. Jadi R1 dalam hal ini sama dengan R2.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

x(t) = 2Sin(t)+Cos(2t).

y(t) = 2Cos(t)-Sin(2t).

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Bentuk di atas disebut episikloid. Sebagai tambahan, bentuknya ditentukan oleh perbandingan R1 dan R2.

Kita akan mengadakan percobaan dengan nilai R1 dan R2 yang berbeda-beda.

Jika R1:R2=2:1 maka bentuknya adalah:

Jika R1:R2 = 3:1, maka bentuknya adalah:

R1:R2=3:2

R1:R2=1:3

R1:R2=6:1

R1:R2=5:3.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI LUAR TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI LUAR TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER.

.

Ivan Taniputera.

.

8 Juli 2016.

.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di luar tepi sebuah roda sedang menggelinding. Kita akan menentukan bagaimana jejak gerakannya dengan bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

.

Vektor posisi R(t) = ( ω r1.t + r2 cos ( ω t)).ex + (-r2 sin ( ω t)).ey.

.

Dengan kata lain komponen sumbu x bagi vektor posisi R(t) yang mewakili letak titik P di sembarang waktu adalah ω r1.t + r2 cos ( ω t); sedangkan komponen sumbu y-nya adalah -r2 sin ( ω t).

.

r1 adalah jari-jari roda yang menggelinding.

r2 adalah jari-jari titik P dihitung dari pusat roda

r2 dalam hal ini lebih besar dari r1

ω adalah kecepatan sudut.

.

Kita misalkan jari-jari roda (r1) yang menggelinding tersebut adalah 1 meter; sedangkan jari-jari titik P (r2) adalah 2 meter. Sementara itu, kecepatan sudutnya adalah 1 1/s.

.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

.

x(t) = t+2Cos(t).

y(t) = -2Sin(t).

.

Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.
8 Juli 2016.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah roda sedang menggelinding. Kita akan menentukan bagaimana jejak gerakannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor Ra(t) = ( ω R.t + R cos ( ω t)).ex + (-R sin ( ω t)).ey

Dengan kata lain komponen sumbu x bagi vektor Ra(t) yang mewakili letak titik P di sembarang waktu adalah ω R.t + R cos ( ω t); sedangkan komponen sumbu y-nya adalah -R sin ( ω t).

R adalah jari-jari roda yang menggelinding.
ω adalah kecepatan sudut.

Kita misalkan jari-jari roda yang menggelinding tersebut adalah 1 meter; sedangkan kecepatan sudutnya adalah 1 1/s

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher.

x(t) = t+Cos(t).
y(t) = -Sin(t)

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Jejak seperti ini disebut sikloid (Inggris: cycloid).