MENENTUKAN NILAI PI BERDASARKAN TEOREMA LIMIT

MENENTUKAN NILAI PI PERDASARKAN TEOREMA LIMIT.

.

Ivan Taniputera.

8 Januari 2017

.

.

Misalkan kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.

.

Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).

Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).

.

Keliling segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).

Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).

= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).

.

Apabila nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran. Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI; maka kita dapat menyimpulkan.

limit n-->tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.

.

Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.

.

.

Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut. 

,

Unuk n = 4, nilainya adalah 4.

n = 5, nilainya adalah 3.63271264

n = 10, nilainya adalah 3.249196962

n = 20, nilainya adalah 3.167688806

n = 50, nilainya adalah 3.145733363

n = 100, nilainya adalah 3.142626604

n = 200, nilainya adalah 3.141851065

n = 500, nilainya adalah 3.141633996

n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655

n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654

.

Jadi jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.

.

Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

.

.

Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.