MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

.

Ivan Taniputera.

7 Agustus 2016.

.

Sederhanakan persamaan dengan pangkat pecahan berikut ini:

.

(x^3/2/+x^1/2)(x^1/3-x^-1/3)/(x^1/2+x^-1/2)(x-x^1/3)

.

Pertama-tama akan dipaparkan rumus-rumus yang dipergunakan dalam menyederhanakan persamaan pangkat pecahan di atas.

.

X^a.X^b = X^(a+b)

.

Kita akan menguraikan sebagai berikut:

= (x.x^1/2+x^1/2)(x^1/3-x^1/3.x^-2/3) / (x^1/2+x^1/2.x^-1).(x-x.x^-2/3)

.

Agar tidak bingung, saya akan menjelaskan terlebih dahulu sebagai berikut:

x^3/2 dapat kita uraikan menjadi x.x^1/2; yakni dengan mengacu pada rumus X^a.X^b = X^(a+b).

x.x^1/2; maka a = 1 dan b = 1/2, jadi x^(a+b) = x^3/2.

x^-1/3 dapat kita uraikan menjadi x^1/3.x^-2/3. Ingat bahwa 1/3+(-2/3) = -1/3.

.

Dengan demikian, asal penguraian di atas sudah dijelaskan. Kita dapat melanjutkan dengan langkah berikutnya.

= (x^1/2(x+1))(x^1/3(1-x^-2/3)) / (x^1/2(1+x^-1))(x(1-x^-2/3))

.

Apa yang baru saja kita lakukan adalah adalah mengeluarkan x^1/2, x^1/3, dan x.

.

Faktor-faktor yang sama dapat kita coret, sehingga didapatkan:

.

=(x+1)(x^1/3)/(1+x^-1)x.

.

Kita masih dapat menyederhanakannya menjadi:

.

=x^1/3

.

Perhatikan bahwa 1+x^-1 dapat diubah menjadi (x+1)/x. Lalu x pada bagian penyebut dapat dicoret. (x+1) pada bagian pembilang dan penyebut juga dapat saling dicoret.

.

Untuk menguji apakah jawaban di atas benar atau salah kita akan meminta bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama masukkan Y(x) = ((x^(3/2)+x^(1/2))(x^(1/3)-x^(-1/3)))/((x^(1/2)+x^(-1/2))(x-x^(1/3)))

Kedua masukkan Y(x) = x^1/3.

.

Berikut ini adalah hasilnya.

.

.

Ternyata didapatkan hasil yang sama.

.

Kesimpulan: Jawaban sudah benar.

.

PERSAMAAN GERAK TITIK YANG BERAYUN PADA OBYEK BERGERAK LURUS BERATURAN

PERSAMAAN GERAK TITIK YANG BERAYUN PADA OBYEK BERGERAK LURUS BERATURAN.

.

Ivan Taniputera.

27 Juli 2016.

.

Sebuah boneka besar kucing yang dapat melambai-lambaikan kaki depannya didirikan di atas sebuah mobil untuk reklame. Kaki depan (panjang l m) boneka kucing melambai-lambai dari posisi vertikal ke arah kanan dan kiri, demikian seterusnya (lihat gambar). Titik P terletak pada telapak kaki boneka kucing. Mobil bergerak dengan kecepatan tetap (v m/s). Kecepatan sudut gerakan kaki kucing adalah ω 1/s. Simpangan maksimalnya adalah A. Tentukan persamaan vektor kedudukan titik P terhadap pengamat yang diam.

.

Pertama-tama kita akan menguraikan vektor-vektornya sebagai berikut.

.

.

Berdasarkan gambar di atas, vektor Rb dapat kira uraikan menjadi Rb.Cos ψ (t) selaku komponen pada sumbu y dan Rb.Sin ψ (t) selaku komponen pada sumbu x.

.

Karena ψ (t) tidak melakukan satu putaran penuh, melainkan hanya mencapai sudut maksimal tertentu dan setelah itu berayun ke arah lawannya, maka ψ (t) dapat kita definisikan sebagai A.Sin φ (t). Adapun A adalah simpangan maksimum atau amplitudonya. Dengan kata lain, nilai ψ (t) tidak akan melebihi +A dan -A.

.

φ (t) sendiri didefinisikan sebagai ω t, dengan ω sebagai kecepatan sudutnya.

.

Komponen vektor posisi pada sumbu x dengan demikian adalah (Ra+Rb.Sin(A.Sin φ (t))).ex

Komponen vektor posisi pada sumbu y dengan demikian adalah (Rb.Cos(A.Sin φ (t))).ey.

Vektor Ra dapat didefinisikan sebagai v.t, dengan v adalah kecepatan mobil.

Rb adalah panjang kaki depan kucing atau l.

.

Kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

.

R = (v.t+l.Sin(A.Sin ω.t )).ex + (l.Cos(A.Sin ω.t)).ey.

Dengan demikian, harga v, l, A, dan ω sudah ditentukan.

.

Untuk mengetahui bagaimana bentuk lintasannya kita akan menggunakan software Z-Grapher. Pertama-tama kita akan masukkan harga v=1 m/s, l=1 m, A=0,5 m, dan ω = 1 1/s. Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

.

Kita akan mencoba nilai-nilai lainnya, misalkan v=0,25 m/s, l=1 m A=0,5 m, dan ω = 1 1/s. Ternyata bentuk lintasannya menjadi sebagai berikut:

.

.

Jadi jika gerakan mobil lebih lambat, maka bentuk lintasan juga akan berubah.

.

Kita boleh melakukan eksperimen dengan mengganti nilai-nilai v, l, A, dan ω. Sebagai contoh:

.

v=2 m/s, l=2 m A=0,8 m, dan ω = 1 1/s.

.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING DALAM SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING DALAM SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.

12 Juli 2016

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah silinder sedang menggelinding pada bagian dalam silinder lainnya. Kita akan menentukan bagaimana lintasannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor posisi R(t) = ((R-r).Sin(ω1.t)+r.Sin(ω2.t)).ex+((R-r).Cos(ω1.t)-r.Cos(ω2.t)).ey.

Karena terdapat hubungan Kinematis: ω2=ω1.(R-r)/r, kita dapat menuliskannya kembali sebagai berikut.

Komponen sumbu x = (R-r).Sin(ω1.t)+r.Sin((ω1.(R-r)/r).t)).
Komponen sumbu y = (R-r).Cos(ω1.t)-r.Cos((ω1.(R-r)/r).t)).

Kita misalkan jari-jari roda di bagian tengah (R) adalah 2 meter. Jari-jari roda yang menggelinding (r) adalah 1 meter. Kecepatan sudutnya adalah 1 1/s.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

x(t) = Sin(t)+Sin(t).
y(t) = Cos(t)-Cos(t).

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Lintasannya membentuk garis lurus. Inilah yang disebut lingkaran Cardano.

Kini kita akan mencoba R1=3, sedangkan R2=1

Bentuk di atas disebut episikloid. Sebagai tambahan, bentuknya ditentukan oleh perbandingan R dan r.

R=4, r=1

R=7, r=3

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING PADA SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING PADA SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.

10 Juli 2016.

.Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah silindir sedang menggelinding pada bagian luar silinder lainnya. Kita akan menentukan bagaimana lintasannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor posisi R(t) = ((R1+R2).Sin(ω1.t)+R2.Cos(ω2.t)).ex+((R1+R2).Cos(ω1.t)-R2.Sin(ω2.t)).ey

Karena terdapat hubungan Kinematis: ω2=ω1.(R1+R2)/R2,

Kita dapat menuliskannya kembali sebagai berikut.

Komponen sumbu x = (R1+R2).Sin(ω1.t)+R2.Cos((ω1.(R1+R2)/R2).t)).

Komponen sumbu y = (R1+R2).Cos(ω1.t)-R2.Sin((ω1.(R1+R2)/R2).t))

Kita misalkan jari-jari roda di bagian tengah (R1) adalah 1 meter. Jari-jari roda yang menggelinding (R2) adalah 1 meter. Kecepatan sudutnya adalah 1 1/s. Jadi R1 dalam hal ini sama dengan R2.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

x(t) = 2Sin(t)+Cos(2t).

y(t) = 2Cos(t)-Sin(2t).

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Bentuk di atas disebut episikloid. Sebagai tambahan, bentuknya ditentukan oleh perbandingan R1 dan R2.

Kita akan mengadakan percobaan dengan nilai R1 dan R2 yang berbeda-beda.

Jika R1:R2=2:1 maka bentuknya adalah:

Jika R1:R2 = 3:1, maka bentuknya adalah:

R1:R2=3:2

R1:R2=1:3

R1:R2=6:1

R1:R2=5:3.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI LUAR TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI LUAR TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER.

.

Ivan Taniputera.

.

8 Juli 2016.

.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di luar tepi sebuah roda sedang menggelinding. Kita akan menentukan bagaimana jejak gerakannya dengan bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

.

Vektor posisi R(t) = ( ω r1.t + r2 cos ( ω t)).ex + (-r2 sin ( ω t)).ey.

.

Dengan kata lain komponen sumbu x bagi vektor posisi R(t) yang mewakili letak titik P di sembarang waktu adalah ω r1.t + r2 cos ( ω t); sedangkan komponen sumbu y-nya adalah -r2 sin ( ω t).

.

r1 adalah jari-jari roda yang menggelinding.

r2 adalah jari-jari titik P dihitung dari pusat roda

r2 dalam hal ini lebih besar dari r1

ω adalah kecepatan sudut.

.

Kita misalkan jari-jari roda (r1) yang menggelinding tersebut adalah 1 meter; sedangkan jari-jari titik P (r2) adalah 2 meter. Sementara itu, kecepatan sudutnya adalah 1 1/s.

.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

.

x(t) = t+2Cos(t).

y(t) = -2Sin(t).

.

Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.
8 Juli 2016.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah roda sedang menggelinding. Kita akan menentukan bagaimana jejak gerakannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor Ra(t) = ( ω R.t + R cos ( ω t)).ex + (-R sin ( ω t)).ey

Dengan kata lain komponen sumbu x bagi vektor Ra(t) yang mewakili letak titik P di sembarang waktu adalah ω R.t + R cos ( ω t); sedangkan komponen sumbu y-nya adalah -R sin ( ω t).

R adalah jari-jari roda yang menggelinding.
ω adalah kecepatan sudut.

Kita misalkan jari-jari roda yang menggelinding tersebut adalah 1 meter; sedangkan kecepatan sudutnya adalah 1 1/s

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher.

x(t) = t+Cos(t).
y(t) = -Sin(t)

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Jejak seperti ini disebut sikloid (Inggris: cycloid).

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN
.

Ivan Taniputera. 

26 September 2015
.

Apakah dapat kita membuktikan suatu bilangan merupakan kelipatan 7 tanpa pembagian, khususnya yang berdigit besar? Ya, jawabannya adalah dapat! Namun kita harus sudah mengetahui 12 bilangan asli pertama yang dapat dibagi dengan tujuh, yakni:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, dan 96.

 .
Agar jelasnya kita akan langsung mempraktikkannya dengan mengambil 649.349 sebagai contoh.

Pertama kurangkan 649.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 630.000.
.

649.349 

630.000 

----------- - 

  19.349

.

Kurangkan kembali 19.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 14.000.
.

19.349 

14.000 

 --------- - 

  5.349
.

Kurangkan kembali 5.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 4.900.
.

5.349 

4.900 

------- - 

   449

.
Kurangkan kembali 449 denga salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 420.
.

449 

420 

----- - 

  29

 .
Ternyata 29 bukan merupakan kelipatan 7. 

 .
Jadi 649.349 bukan kelipatan 7.
.

Intinya kita mengurangkan terus hingga jumlahnya lebih kecil dari 96. 

Jika hasil akhirnya merupakan kelipatan tujuh, maka bilangan tersebut kelipatan 7.
.

Silakan Anda coba dengan digit-digit lain yang lebih besar.
.

Secara matematis, kita dapat menuliskan metoda di atas sebagai berikut:

A - 7a - 7b - 7c - ........... = x

A adalah bilangan yang hendak kita cari apakah merupakan kelipatan tujuh atau bukan. 

7a, 7b, 7c, dan seterusnya, mewakili perkalian 12 bilangan asli pertama kelipatan tujuh dengan kelipatan 10. 

x adalah hasil akhir atau sisanya.

 .
Jika x merupakan keliatan 7, maka kita dapat menuliskan x sebagai 7X (sebagai pembeda, maka saya pergunakan X dengan huruf besar).

 .
Jadi: A - 7a - 7b - 7c -.......... = 7X
.

Kita pindahkan 7a, 7b, 7c, dan seterusnya ke ruas kanan.
.

A = 7X + 7a + 7b + 7c+ ...........
.

Lalu kita mengeluarkan angka 7
.

A = 7 (X + a + b + c + ....................)
.

Jadi terbukti bahwa A merupakan kelipatan 7.
.

Namun jika x bukan kelipatan 7, setelah 7a, 7b, 7c, dan seterusnya dipindah ke ruas kanan, maka angka 7 tidak dapat dikeluarkan, sehingga jelas sekali bahwa A bukan kelipatan 7.
.

Mudah dan sederhana, bukan?
.