MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING DALAM SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING DALAM SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.

12 Juli 2016

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah silinder sedang menggelinding pada bagian dalam silinder lainnya. Kita akan menentukan bagaimana lintasannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor posisi R(t) = ((R-r).Sin(ω1.t)+r.Sin(ω2.t)).ex+((R-r).Cos(ω1.t)-r.Cos(ω2.t)).ey.

Karena terdapat hubungan Kinematis: ω2=ω1.(R-r)/r, kita dapat menuliskannya kembali sebagai berikut.

Komponen sumbu x = (R-r).Sin(ω1.t)+r.Sin((ω1.(R-r)/r).t)).
Komponen sumbu y = (R-r).Cos(ω1.t)-r.Cos((ω1.(R-r)/r).t)).

Kita misalkan jari-jari roda di bagian tengah (R) adalah 2 meter. Jari-jari roda yang menggelinding (r) adalah 1 meter. Kecepatan sudutnya adalah 1 1/s.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

x(t) = Sin(t)+Sin(t).
y(t) = Cos(t)-Cos(t).

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Lintasannya membentuk garis lurus. Inilah yang disebut lingkaran Cardano.

Kini kita akan mencoba R1=3, sedangkan R2=1

Bentuk di atas disebut episikloid. Sebagai tambahan, bentuknya ditentukan oleh perbandingan R dan r.

R=4, r=1

R=7, r=3

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING PADA SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING PADA SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.

10 Juli 2016.

.Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah silindir sedang menggelinding pada bagian luar silinder lainnya. Kita akan menentukan bagaimana lintasannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor posisi R(t) = ((R1+R2).Sin(ω1.t)+R2.Cos(ω2.t)).ex+((R1+R2).Cos(ω1.t)-R2.Sin(ω2.t)).ey

Karena terdapat hubungan Kinematis: ω2=ω1.(R1+R2)/R2,

Kita dapat menuliskannya kembali sebagai berikut.

Komponen sumbu x = (R1+R2).Sin(ω1.t)+R2.Cos((ω1.(R1+R2)/R2).t)).

Komponen sumbu y = (R1+R2).Cos(ω1.t)-R2.Sin((ω1.(R1+R2)/R2).t))

Kita misalkan jari-jari roda di bagian tengah (R1) adalah 1 meter. Jari-jari roda yang menggelinding (R2) adalah 1 meter. Kecepatan sudutnya adalah 1 1/s. Jadi R1 dalam hal ini sama dengan R2.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

x(t) = 2Sin(t)+Cos(2t).

y(t) = 2Cos(t)-Sin(2t).

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Bentuk di atas disebut episikloid. Sebagai tambahan, bentuknya ditentukan oleh perbandingan R1 dan R2.

Kita akan mengadakan percobaan dengan nilai R1 dan R2 yang berbeda-beda.

Jika R1:R2=2:1 maka bentuknya adalah:

Jika R1:R2 = 3:1, maka bentuknya adalah:

R1:R2=3:2

R1:R2=1:3

R1:R2=6:1

R1:R2=5:3.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI LUAR TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI LUAR TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER.

.

Ivan Taniputera.

.

8 Juli 2016.

.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di luar tepi sebuah roda sedang menggelinding. Kita akan menentukan bagaimana jejak gerakannya dengan bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

.

Vektor posisi R(t) = ( ω r1.t + r2 cos ( ω t)).ex + (-r2 sin ( ω t)).ey.

.

Dengan kata lain komponen sumbu x bagi vektor posisi R(t) yang mewakili letak titik P di sembarang waktu adalah ω r1.t + r2 cos ( ω t); sedangkan komponen sumbu y-nya adalah -r2 sin ( ω t).

.

r1 adalah jari-jari roda yang menggelinding.

r2 adalah jari-jari titik P dihitung dari pusat roda

r2 dalam hal ini lebih besar dari r1

ω adalah kecepatan sudut.

.

Kita misalkan jari-jari roda (r1) yang menggelinding tersebut adalah 1 meter; sedangkan jari-jari titik P (r2) adalah 2 meter. Sementara itu, kecepatan sudutnya adalah 1 1/s.

.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

.

x(t) = t+2Cos(t).

y(t) = -2Sin(t).

.

Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera.
8 Juli 2016.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah roda sedang menggelinding. Kita akan menentukan bagaimana jejak gerakannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

Vektor Ra(t) = ( ω R.t + R cos ( ω t)).ex + (-R sin ( ω t)).ey

Dengan kata lain komponen sumbu x bagi vektor Ra(t) yang mewakili letak titik P di sembarang waktu adalah ω R.t + R cos ( ω t); sedangkan komponen sumbu y-nya adalah -R sin ( ω t).

R adalah jari-jari roda yang menggelinding.
ω adalah kecepatan sudut.

Kita misalkan jari-jari roda yang menggelinding tersebut adalah 1 meter; sedangkan kecepatan sudutnya adalah 1 1/s

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher.

x(t) = t+Cos(t).
y(t) = -Sin(t)

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Jejak seperti ini disebut sikloid (Inggris: cycloid).

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN
.

Ivan Taniputera. 

26 September 2015
.

Apakah dapat kita membuktikan suatu bilangan merupakan kelipatan 7 tanpa pembagian, khususnya yang berdigit besar? Ya, jawabannya adalah dapat! Namun kita harus sudah mengetahui 12 bilangan asli pertama yang dapat dibagi dengan tujuh, yakni:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, dan 96.

 .
Agar jelasnya kita akan langsung mempraktikkannya dengan mengambil 649.349 sebagai contoh.

Pertama kurangkan 649.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 630.000.
.

649.349 

630.000 

----------- - 

  19.349

.

Kurangkan kembali 19.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 14.000.
.

19.349 

14.000 

 --------- - 

  5.349
.

Kurangkan kembali 5.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 4.900.
.

5.349 

4.900 

------- - 

   449

.
Kurangkan kembali 449 denga salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 420.
.

449 

420 

----- - 

  29

 .
Ternyata 29 bukan merupakan kelipatan 7. 

 .
Jadi 649.349 bukan kelipatan 7.
.

Intinya kita mengurangkan terus hingga jumlahnya lebih kecil dari 96. 

Jika hasil akhirnya merupakan kelipatan tujuh, maka bilangan tersebut kelipatan 7.
.

Silakan Anda coba dengan digit-digit lain yang lebih besar.
.

Secara matematis, kita dapat menuliskan metoda di atas sebagai berikut:

A - 7a - 7b - 7c - ........... = x

A adalah bilangan yang hendak kita cari apakah merupakan kelipatan tujuh atau bukan. 

7a, 7b, 7c, dan seterusnya, mewakili perkalian 12 bilangan asli pertama kelipatan tujuh dengan kelipatan 10. 

x adalah hasil akhir atau sisanya.

 .
Jika x merupakan keliatan 7, maka kita dapat menuliskan x sebagai 7X (sebagai pembeda, maka saya pergunakan X dengan huruf besar).

 .
Jadi: A - 7a - 7b - 7c -.......... = 7X
.

Kita pindahkan 7a, 7b, 7c, dan seterusnya ke ruas kanan.
.

A = 7X + 7a + 7b + 7c+ ...........
.

Lalu kita mengeluarkan angka 7
.

A = 7 (X + a + b + c + ....................)
.

Jadi terbukti bahwa A merupakan kelipatan 7.
.

Namun jika x bukan kelipatan 7, setelah 7a, 7b, 7c, dan seterusnya dipindah ke ruas kanan, maka angka 7 tidak dapat dikeluarkan, sehingga jelas sekali bahwa A bukan kelipatan 7.
.

Mudah dan sederhana, bukan?
.

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Ivan Taniputera.
24 September 2015

Banyak orag yang masih bingung dalam menerapkan permutasi dan kombinasi. Adapun rumus masing-masing adalah sebagai berikut:

Permutasi

P (n,k) = (n!)/(n-k)!

Kombinasi

C (n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)

Pertama-tama kita bahas contoh penggunaan permutasi terlebih dahulu.

Misalkan ada empat orang anak, sebut saja Andy (A), Benny (B), Clara (C), Doni (D). Di antara keempat anak itu, akan dipilih dua orang masing-masing sebagai ketua (K) dan wakil ketua kelas (W). Kita diminta menentukan ada berapa kemungkinan pasangan ketua kelas beserta wakilnya.

Adapun kemungkinannya sebagai berikut (yang disebutkan pertama adalah K, sedangkan yang disebut belakangan adalah W):

1) A, B
2) B, A
3) A, C
4) C, A
5) A, D
6) D, A
7) B, C
8) C, B
9) B, D
10) D, B
11) C, D
12) D, C

Nampak bahwa terdapat 12 kemungkinan. Dalam hal ini A sebagai ketua dan B sebagai wakil berbeda dengan B sebagai ketua dan A sebagai wakil. Oleh karenanya, pada contoh ini, urutan adalah sesuatu yang penting. Anggota sama tetapi urutan berbeda dianggap berbeda (A, B beda dengan B, A).

Dalam kasus ini kita harus menggunakan PERMUTASI.

P(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.

Dalam kasus kita, n = 4 dan k = 2

P(4,2) = (4!)/(4-2)!
= 12

Kini kita beralih pada Kombinasi. Contoh kasusnya adalah sebagai berikut. Anda diberi 4 buah soal, sebut saja A, B, C, dan D. Anda diminta memilih dan mengerjakan 2 soal saja. Adapun kemungkinannya adalah:

1) A, B
2) A, C
3) A, D
4) B, C
5) B, D
6) C, D

Semua terdapat 6 kemungkinan. Dalam hal ini, urutan tidak penting. Anda mengerjakan soal A dahulu baru B atau B dahulu baru A adalah sama. Jika kedua soal itu Anda kerjakan dengan benar, maka tidak peduli bagaimana pun urutan Anda mengerjakannya, Anda mendapatkan nilai yang sama.

Guna menyelesaikan soal-soal seperti ini, Anda harus menggunakan KOMBINASI.

C(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.

Dalam kasus kita, n = 4 dan k =2

C(4,2) = (4!)/(2!(4-2)!)
=6

Mudah bukan?

BILANGAN OKSIDASI KARBON (C) PADA BERBAGAI ASAM

BILANGAN OKSIDASI KARBON (C) PADA BERBAGAI ASAM 

Ivan Taniputera

27 Mei 2015

1) H2CO2 disebut Asam Karbonit

CO2 mempunyai bilangan oksidasi -2

Jadi Bilangan oksidasi C = -2+4, yakni +2

2) H2CO3 disebut Asam Karbonat

CO3 mempunyai bilangan oksidasi -2

Jadi bilangan oksidasi C = -2+6, yakni +4

3) H2CO4 disebut Asam Perkarbonat

CO4 mempunyai bilangan oksidasi -2

Jadi bilangan oksidasi C = -2+8, yakni +6

4 H2C2O4 disebut Asam Oksalat

C2O4 mempunyai bilangan oksidasi -2

Jadi bilangan oksidasi C = (-2+8):2, yakni +3

Dengan demikian, Karbon mungkin mempunyai bilangan oksidasi yang berbeda-beda.