PENYELESAIAN SOAL-SOAL LOGIKA

PENYELESAIAN SOAL-SOAL LOGIKA.

.

Ivan Taniputera.

21 Januari 2017

.

1) Jika nilai semua siswa pulang maka tidak ada pelajaran. Tentukan ingkarannya.

.

Jawaban:

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

~(p→q)≡ (p ᴧ ~q)

.

Jadi ingkarannya adalah: semua siswa pulang dan ada pelajaran.

.

2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.

.

Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil. 

.

2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.

.

Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil. 

.

Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

.

a^2+1 < 2

a^2-1 < 0

(a+1)(a-1) < 0

.

Untuk a< -1 dan a > 1 nilainya akan selalu lebih besar 0 (positif). Sedangkan untuk -1 < a < 1 nilainya akan selalu lebih kecil 0 (negatif). Tidak semua nilainya lebih kecil 0. Jadi tidak semua nilai a kuadrat ditambah 1 akan lebih kecil dibandingkan 2.

.

.

MEMBACA PRINCIPIA KARYA SIR ISAAC NEWTON

MEMBACA PRINCIPIA KARYA SIR ISAAC NEWTON.

.

Ivan Taniputera.

19 Januari 2017

.

Sebagian besar di antara kita, tentunya telah mengenal Sir Isaac Newton (1643-1727) semenjak dari bangku sekolah. Kita barangkali telah mengetahui bahwa, ia merupakan penulis karya tersohor dalam bidang matematika serta fisika berjudul “Principia.” Sebenarnya itu merupakan singkatan dari judul berbahasa Latin “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,” yang bila diterjemahkan ke bahasa Indonesia akan berbunyi “Prinsip-prinsip Matematika Dalam Filsafat Alam.” Saya tiba-tiba saja tertarik membaca karya tersebut untuk mengetahui apakah di masa sekarang masih diperlukan membacanya. Beruntunglah di era Internet ini, berbagai karya terkemuka di zaman dahulu dapat dengan mudah dijumpai. Karya Newton ini memberikan sumbangsih berharga pada berbagai cabang sains, seperti astronomi, mekanika, matematika, dan lain sebagainya.

.

Newton membuka karyanya dengan suatu definisi, yang disebutnya Definisi Pertama:

.

“Kuantitas materi adalah ukuran sama yang timbul dari massa jenis dan isi secara bersamaan.”

.

Saya mencoba memahami apa yang dimaksud Isaac Newton dengan definisi tersebut. Ia menjelaskan bahwa jika massa jenis udara digandakan dengan ruang yang ditempatinya (maksudnya volume) juga digandakan, maka kuantitasnya akan menjadi rangkap empat. Apabila volumenya dibuat rangkap tiga (massa jenis tetap digandakan sebagaimana disebutkan sebelumnya), maka kuantitasnya akan menjadi rangkap enam. Kuantitas materi ini dengan demikian adalah sesuatu yang kini lebih kita kenal dengan massa. Newton sedang menjelaskan mengenai hubungan antara massa, massa jenis, dan volume; yakni melalui rumus yang kini kita kenal sebagai:

.

massa = massa jenis x volume.

m = ρ .V

.

Rumus ini tentu sudah kita kenal sejak duduk di bangku SMP. Newton menambahkan pula bahwa apa yang disebut massa ini berbanding lurus (proporsional) dengan beratnya. Hal ini tentu sudah kita kenal melalui rumus:

.

W = m. g

.

Kita akan melanjutkan dengan definisi kedua Newton:

.

“Kuantitas gerak adalah ukuran sama, yang timbul dari kecepatan dan kuantitas materi (massa) secara bersamaan. “

.

Ia menambahkan, jika suatu materi massanya digandakan tetapi kecepatannya tetap, maka kuantitas geraknya akan menjadi dua kali lipat (digandakan pula). Apabila kecepatannya juga digandakan dua kali lipat, maka kuantitas geraknya akan menjadi empat kali lipat. Nampaknya apa yang kita kenal sebagai kuantitas gerak ini adalah momentum atau p, yang dirumuskan sebagai:

.

Momentum = massa x kecepatan.

.

p = m.v

.

Kita melanjutkan lagi pada Definisi Ketiga. Definisi ketiga Newton inilah yang ternyata kita kenal sebagai Hukum Newton Pertama dalam buku-buku fisika:

.

“Gaya yang terdapat dalam sebuah materi, adalah kekuatan untuk melawan, dimana setiap benda pada keadaannya saat itu, berupaya mempertahankan keadaannya, baik itu saat diam atau bergerak lurus dengan kecepatan tetap dalam suatu garis lurus.”

.

Hal ini yang kita kenal dengan sifat kelembaman benda. Efeknya nampak saat mobil mengerem secara mendadak, dimana kita akan tersentak maju ke depan, atau saat mobil menambah kecepatan kita akan serasa terdorong ke belakang. Newton menyebut sifat ini dalam bahasa Latin sebagai vis inertiae atau “gaya tidak aktif” (inactivity force).

.

Definisi keempat Newton berbunyi:

.

“Gaya yang dikerahkan adalah upaya diberikan pada sebuah benda, guna mengubah keadaannya; baik itu dalam keadaan diam atau bergerak lurus beraturan.”

Newton menjelaskan bahwa gaya itu hanya berupa tindakan saja dan tidak lagi ada jika tindakan tersebut tidak lagi diberikan. Mungkin inilah kita yang kini kita sebut dengan “gaya luar” F.

.

Sampai di sini dahulu pembacaan saya terkait Principia karya Isaac Newton karena hari sudah larut malam. Pembacaan akan saya lanjutkan di lain kesempatan. Tentunya karya ini akan sangat menarik bagi para penggemar fisika.

MENENTUKAN NILAI PI BERDASARKAN TEOREMA LIMIT

MENENTUKAN NILAI PI PERDASARKAN TEOREMA LIMIT.

.

Ivan Taniputera.

8 Januari 2017

.

.

Misalkan kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.

.

Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).

Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).

.

Keliling segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).

Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).

= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).

.

Apabila nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran. Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI; maka kita dapat menyimpulkan.

limit n--&gt;tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.

.

Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.

.

.

Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut. 

,

Unuk n = 4, nilainya adalah 4.

n = 5, nilainya adalah 3.63271264

n = 10, nilainya adalah 3.249196962

n = 20, nilainya adalah 3.167688806

n = 50, nilainya adalah 3.145733363

n = 100, nilainya adalah 3.142626604

n = 200, nilainya adalah 3.141851065

n = 500, nilainya adalah 3.141633996

n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655

n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654

.

Jadi jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.

.

Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

.

.

Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.

MENGAPA BENDA SEMAKIN JAUH NAMPAK SEMAKIN KECIL?

MENGAPA BENDA SEMAKIN JAUH NAMPAK SEMAKIN KECIL?

.

Ivan Taniputera.

31 Desember 2016.

.

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengapa benda semakin jauh akan nampak semakin kecil. Mungkin kita belum pernah memikirkan hal itu secara serius. Lalu apakah penyebabnya? Jawabannya adalah karena lensa mata kita merupakan lensa cembung.

.

.

Lalu mengapa jika lensa cembung? Penjelasannya adalah sebagai berikut. Misalkan ada tiga buah benda yang tingginya sama, diletakkan pada jarak berlainan di hadapan sebuah lensa cembung (mewakili lensa mata kita). Lalu gambarlah jalannya sinar pembentuk bayangan bagi ketiga benda tersebut. Hasilnya nampak seperti gambar di bawah ini.

.

Nampak bahwa benda yang lebih dekat dengan lensa cembung akan mempunyai bayangan yang lebih besar. Pada gambar di atas, benda A mempunyai letak paling dekat lensa cembung. Bayangan benda A, yakni yang ditandai dengan A’ nampak paling besar. Semakin jauh letak bendanya dari lensa cembung, bayangannya juga akan semakin mengecil. Bayangan-bayangan inilah yang ditangkap oleh retina kita, sehingga kita sanggup menyaksikan benda-benda tersebut. Jadi, bagi benda yang dekat kita akan menangkap bayangan lebih besar. Itulah akibatnya, semakin dekat letak sebuah benda, nampak pula semakin besar.

PRINSIP-PRINSIP DASAR ALJABAR

PRINSIP-PRINSIP DASAR ALJABAR

.

Ivan Taniputera.

27 November 2016.

.

Saya menulis artikel ini karena menyaksikan banyak siswa dan bahkan orang dewasa yang masih salah dalam menerapkan prinsip-prinsip aljabar. Oleh karenanya, pada kesempatan kali ini, saya akan memaparkan prinsip-prinsip dasar aljabar secara ringkas dan mudah dipahami. Materi yang tercantum dalam artikel ini dapat disetarakan dengan bahan pelajaran kelas VII (SMP kelas 1).

.

Pertama-tama, kita perlu menjelaskan berbagai istilah yang dipergunakan dalam aljabar. Marilah kita perhatikan bentuk aljabar sebagai berikut:

.

2x + 5y = 10.

.

x dan y disebut variabel, karena nilainya belum ditentukan atau dapat diisi dengan bilangan berapa saja.

2 dan 5 disebut sebagai koefisien, yakni angka-angka di depan variabel. Sebagai catatan koefisien 1 tidak perlu ditulis. jadi 1x cukup ditulis x. Jadi dengan demikian kita mengetahui bahwa x mempunyai koefisien 1.

10 disebut sebagai konstanta, karena nilainya merupakan bilangan yang sudah tetap (konstan) atau tidak berubah lagi.

2x, 5y, dan 10 disebut suku-suku aljabar. Jadi ini merupakan bagian-bagian sebuah persamaan aljabar.

.

Kemudian kita akan membahas mengenai apa yang disebut “ruas.” Silakan perhatikan persamaan berikut ini.

2x+5y = 3z - 5 .

Terdapat dua bagian yang dipisahkan oleh tanda sama dengan (=); yakni 2x+5y dan 3z-5. Inilah yang disebut ruas. 2x+5y disebut “ruas kiri,” karena terletak di sebelah kiri; sedangkan 3z-5 disebut “ruas kanan,” karena terletak di sebelah kanan.

.

PRINSIP PERTAMA: Hanya suku-suku sejenis yang dapat dioperasikan melalui penjumlahan dan pengurangan.

.

Suku sejenis adalah suku yang mempunyai variabel sama. Contoh: 2x, 3x, dan 10x adalah suku yang sejenis. Sebaliknya suku-suku yang tidak sejenis tidak dapat dioperasikan.

.

Cara mengoperasikan suku-suku sejenis adalah seperti penjumlahan dan pengurangan biasa. Contoh: 5x + 2x = 7x; 3y + 7y = 10y; 5z-3z = 2z. Jadi yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah koefisiennya, sementara itu variabelnya tetap.

.

Suku tidak sejenis tidak dapat dioperasikan melalui penjumlahan atau pengurangan. Jadi:

10x + 5y hasilnya tetap 10x + 5y: dan bukan 15xy!

.

PRINSIP KEDUA: Cara mengoperasikan suku-suku aljabar melalui perkalian.

.

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan, maka operasi perkalian dapat dilangsungkan pada suku-suku sejenis maupun tidak sejenis.

Suku sejenis dapat dikalikan menjadi bilangan berpangkat. Contoh 2x . 3x = 6x^2 (baca: 6 x pangkat 2). 2y.3y.4y = 24y^3 (baca: 24 y pangkat 3). Koefisiennya dikalikan dan variabelnya dipangkatkan.

.

Cara mengalikan suku-suku yang tidak sejenis adalah sebagai berikut. Contoh: 2x.3y = 6xy. Jadi yang dikalikan adalah koefisiennya dan variabelnya juga demikian.

.

PRINSIP KETIGA: PINDAH RUAS PADA PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

.

Pindah ruas ini masih menjadi sumber kesalahan utama. Prinsipnya cukup mudah. Kita akan membahas penjumlahan dan pengurangan terlebih dahulu. Prinsipnya adalah: Jika terjadi perpindahan ruas, maka suku yang positif menjadi negatif, sebaliknya yang negatif menjadi positif. Siswa yang kurang teliti sering lupa mengubah tanda positif dan negatif tersebut, sehingga terjerumus pada kesalahan. Untuk jelasnya perhatikan contoh sebagai berikut.

3x+5y = 7z-10.

.

Kita akan memindah 7z ke ruas kiri; maka karena 7z adalah positif, begitu dipindahkan akan menjadi negatif:

.

3x+5y-7z = -10.

.

Contoh lain:

.

8x-5y-10=12. Kita hendak memindahkan -10 ke ruas kanan. Karena -10 merupakan bilangan negatif, maka jika dipindahkan ruasnya akan menjadi positif.

8x-5y=12+10

8x-5y=22.

.

Hal yang perlu diperhatikan adalah jika seluruh anggota ruas dipindahkan atau ditukarkan satu sama lain, maka tidak perlu ada pertukaran tanda.

.

8x = 3y

3y = 8x (tidak perlu ada pertukaran tanda)

.

7x+5y=10z-3

10z-3=7x+5y (tidak perlu ada pertukaran tanda)

.

PRINSIP KEEMPAT: PINDAH RUAS PADA PEMBAGIAN DAN PERKALIAN.

.

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan, maka pada pembagian beserta perkalian tidak terjadi pertukaran atau perubahan tanda. Prinsipnya adalah jika pindah ruas, maka pengali akan menjadi pembagi dan pembagi akan menjadi pengali. Silakan perhatikan contoh di bawah ini.

.

5x/y = 10; kita akan memindahkan y ke ruas kanan. Nampak bahwa di ruas kiri y adalah pembagi. Jadi jika dipindahkan ke ruas kanan, y akan menjadi pengali: 5x = 10y.

.

Contoh berikutnya: 10xy = 20. Kita akan memindahkan y ke ruas kanan. Karena y adalah pengali, maka jika dipindahkan ia akan menjadi pembagi: 10x = 20/y.

.

Salah satu kesalahan yang sering dialami para siswa adalah mencampur adukkan dengan prinsip pindah ruas pada operasi penjumlahan atau pengurangan, yakni tandanya ikut diganti. Ini adalah kesalahan fatal yang harus dihindari.

.

PRINSIP LIMA: PINDAH RUAS PADA OPERASI CAMPURAN

.

Maksud operasi campuran adalah suatu persamaan aljabar yang terdapat penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian sekaligus. Hal ini merupakan sesuatu yang cukup rumit dan sering menjadi sumber kesalahan. Kita akan mencoba mengupas berbagai prinsip yang ada secara perlahan, langkah demi langkah, dan bahasa sesederhana mungkin.

.

Prinsip 5.a: Prinsip empat (pengali menjadi pembagi; pembagi menjadi pengali) tidak dapat diterapkan, jika masih terdapat penjumlahan dan pengurangan dengan suku-suku lain.

Contoh: 5x + y = x/z - 2

Kita tidak dapat langsung memindahkan z di ruas kanan ke ruas kiri. Karena masih terdapat pengurangan dengan suku lain, yakni 2. Kesalahan yang beberapa kali saya amati adalah sebagai berikut: (5x+y).z = x-2. Mereka langsung memindahkan z ke ruas kiri sebagai pengali. Ini merupakan KESALAHAN fatal. Lalu apa yang harus dilakukan? Pertama-tama, samakan penyebut pada ruas kanan.

.

5x + y = (x-2z)/z; prinsip menyamakan penyebut ini sama dengan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan, sebagaimana yang telah dipelajari di bangku sekolah dasar (sd).

.

Setelah disamakan penyebutnya seperti di atas, barulah z dapat dipindahkan ke ruas kiri, menjadi: (5x+y).z = x-2z. Mengapa kini boleh dipindahkan padahal masih terdapat operasi pengurangai berupa x-2z? Jawabannya adalah dengan adanya penyamaan penyebut seperti di atas, maka (x-2z) sudah dianggap sebagai satu “kesatuan” yang tidak terpisahkan; jadi seolah-olah (x-2z) itu dianggap sebagai satu suku. Begitu pula saat dipindahkan ke ruas kiri, maka 5x+y juga dipandang sebagai suatu kesatuan, sehingga harus ditulis dalam tanda kurung. Jadi BUKAN: 5xz+7 = x-2z. Ini juga merupakan satu kesalahan fatal, yakni z hanya dikalikan pada salah satu suku saja di ruas kiri.

.

Prinsip 5b. Pada satu suku yang terdapat pembagian (misalnya x/y) yang diikuti oleh penjumlahan atau pengurangan dengan suku lain, maka jika hendak dipindah ruas, keseluruhan suku dengan pembagian itu harus dipindahkan dengan perubahan tanda. Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut ini. .

x/y-5 = 2z+3. Dalam hal ini jika x/y di ruas kiri harus dipindahkan secara keseluruhan jika memang ingin dipindah ke ruas kanan; menjadi -5=2z+3-(x/y). Jadi tidak boleh hanya memindahkan x atau y saja. x dan y dalam x/y harus dianggap sebagai satu kesatuan, selama masih ada operasi penjumlahan beserta pengurangan lain pada ruas tersebut.

.

Hal ini berbeda pada: 5z = x/y. Nampak bahwa tidak ada operasi penjumlahan dan pengurangan lain di ruas kanan; sehingga y di ruas kanan dapat kita pindahkan ke ruas kiri dengan menerapkan prinsip empat, sebagai berikut: 5zy = x.

.

PRINSIP ENAM: MENCORET

.

Pencoretan boleh dilakukan jika pada masing-masing ruas atau suku seluruhnya berupa operasi pembagian dan perkalian. Apabila masih ada operasi penjumlahan dan pengurangan pada suatu ruas atau suku, maka tidak boleh dilakukan pencoretan. Untuk jelasnya, silakan perhatikan contoh-contoh sebagai berikut:

.

2xy = yz. Perhatikan bahwa pada masing-masing ruas, tidak terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan, sehingga y boleh dicoret. Persamaan itu menjadi: 2x = z.

.

contoh lain: 2 = 3xy/y. Dalam hal ini kedua y pada ruas kanan boleh dicoret, sehingga menjadi: 2 = 3x.

.

Meskipun demikian, jika terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan, maka pencoretan tidak boleh dilakukan:

.

2x = 5x + y; maka kedua x tidak boleh dicoret. Contoh lain: 2z = (3x+5y)/y. Kedua y pada ruas kanan tidak boleh dicoret, karena masih ada operasi penjumlahan dengan 3x.

.

Demikianlah prinsip-prinsip dasar terpenting dalam aljabar.

JAWABAN SOAL-SOAL LOGARITMA DAN PECAHAN

JAWABAN SOAL-SOAL LOGARITMA DAN PECAHAN.

.

Ivan Taniputera.

5 September 2016.

.

.

Jawaban soal nomor 1.

Jika a=0,11111.... dan b=0,33333....., tentukan nilai a log b. Catatan a adalah bilangan basis logaritma.

Kita harus mengubah bentuk pecahan desimal berulang menjadi pecahan biasa.

a=0,11111.....

10a=1,11111....

10a-a = 1,11111.....-0,11111....

9a = 1

a = 1/9.

.

b=0,33333.....

10b=3,33333.....

10b-b = 3,33333.....-0,33333......

9b = 3

b = 1/3

.

1/9 = 3^-2

1/3 = 3^-1

.

Jadi:

a log b = 3^-2 log 3^-1

= 1/2.

.

Jawaban soal nomor 2.

.

Jika a-b = akar (12-2.akar 27), tentukan a log b. Catatan a adalah bilangan basis logaritma.

.

(a-b)^2 = 12-2.akar 27

a^2+b^2-2ab = 12-2.akar 27.

.

Jadi ab = akar 27

a^2+b^2 = 12.

.

Oleh karenanya perlu dicari nilai a dan b yang memenuhi persamaan di atas.

Didapatkan a = akar 9 dan b = akar 3.

.

a = 3 dan b = akar 3 ata 3^(1/2).

.

Jadi a log b = 3 log 3^(1/2).

= 1/2.

.

Jawaban soal nomor 3.

.

Tentukan nilai (3 log^2 (36) - 3 log^2 (4))/3 log (akar 12)). Catatan 3 adalah bilangan basis logaritma.

.

Bentuk 3 log^2 (36) - 3 log^2 (4) dapat dianggap sebagai a^2-b^2.

a^2-b^2 dapat diuraikan menjadi (a+b)(a-b).

.

Jadi 3 log^2 (36) - 3 log^2 (4) dapat diuraikan menjadi (3 log (36)+3 log (4))(3 log (36)-3 log (4)).

.

= (3 log (144))(3 log (9))/3 log (12)^1/2

= (3 log (12)^2)(3 log (3)^2)/ (1/2. (3 log (12))

= (2. (3 log (12)))(2)/(1/2.(3 log (12))

= 2.2.2

= 8

.

Jawaban soal nomor 4.

.

Tentukan nilai x yang memenuhi akar (2x+1) = 1/(4^(x-1)).

.

Kita dapat mengubah persamaan di atas sebagai berikut.

.

(2^(x+1))^1/2 = 2^(-2(x-1))

.

Jadi:

1/2 (x+1) = -2x+2

1/2 x + 1/2 = -2x + 2

1/2 x + 2x = 2-(1/2)

5/2 x = 3/2

x = 3/5.

.

Jawaban soal nomor 5.

.

Sederhanakan log (akar((p-1)/(p+1))+1/2.log (p^2-1).

.

= log ((p-1)/(p+1))^1/2+1/2.log(p^2-1)

=1/2.log ((p-1)/(p+1)) + 1/2.log ((p+1)(p-1))

=1/2.(log ((p-1)/(p+1)).((p+1)(p-1))

p+1 dapat dicoret, sehingga

=1/2.log ((p-1)(p-1))

=1/2.log (p-1)^2

= log (p-1).

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

.

Ivan Taniputera.

7 Agustus 2016.

.

Sederhanakan persamaan dengan pangkat pecahan berikut ini:

.

(x^3/2/+x^1/2)(x^1/3-x^-1/3)/(x^1/2+x^-1/2)(x-x^1/3)

.

Pertama-tama akan dipaparkan rumus-rumus yang dipergunakan dalam menyederhanakan persamaan pangkat pecahan di atas.

.

X^a.X^b = X^(a+b)

.

Kita akan menguraikan sebagai berikut:

= (x.x^1/2+x^1/2)(x^1/3-x^1/3.x^-2/3) / (x^1/2+x^1/2.x^-1).(x-x.x^-2/3)

.

Agar tidak bingung, saya akan menjelaskan terlebih dahulu sebagai berikut:

x^3/2 dapat kita uraikan menjadi x.x^1/2; yakni dengan mengacu pada rumus X^a.X^b = X^(a+b).

x.x^1/2; maka a = 1 dan b = 1/2, jadi x^(a+b) = x^3/2.

x^-1/3 dapat kita uraikan menjadi x^1/3.x^-2/3. Ingat bahwa 1/3+(-2/3) = -1/3.

.

Dengan demikian, asal penguraian di atas sudah dijelaskan. Kita dapat melanjutkan dengan langkah berikutnya.

= (x^1/2(x+1))(x^1/3(1-x^-2/3)) / (x^1/2(1+x^-1))(x(1-x^-2/3))

.

Apa yang baru saja kita lakukan adalah adalah mengeluarkan x^1/2, x^1/3, dan x.

.

Faktor-faktor yang sama dapat kita coret, sehingga didapatkan:

.

=(x+1)(x^1/3)/(1+x^-1)x.

.

Kita masih dapat menyederhanakannya menjadi:

.

=x^1/3

.

Perhatikan bahwa 1+x^-1 dapat diubah menjadi (x+1)/x. Lalu x pada bagian penyebut dapat dicoret. (x+1) pada bagian pembilang dan penyebut juga dapat saling dicoret.

.

Untuk menguji apakah jawaban di atas benar atau salah kita akan meminta bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama masukkan Y(x) = ((x^(3/2)+x^(1/2))(x^(1/3)-x^(-1/3)))/((x^(1/2)+x^(-1/2))(x-x^(1/3)))

Kedua masukkan Y(x) = x^1/3.

.

Berikut ini adalah hasilnya.

.

.

Ternyata didapatkan hasil yang sama.

.

Kesimpulan: Jawaban sudah benar.

.