TENTANG a^n + b^n = c^n

TENTANG a^n + b^n = c^n

.

Ivan Taniputera.

4 Agustus 2018.

.

Pada kesempatan kali ini saya ingin membahas persamaan a^n+b^n = c^n, dimana a, b, c, dan n merupakan bilangan bulat. Untuk n lebih besar dibandingkan 2, maka tidak terdapat nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan tersebut. Hal ini disebut Teorema Terakhir Fermat.

.

Untuk membuktikan bagi nilai n lebih besar dibandingkan 2, saya akan menuliskan kembali persamaan di atas menjadi:

.

a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).
.
a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k.
.

dengan k adalah 1, 2, 3, ...........

.

Kini kita perlu mengulas terlebih dahulu mengenai Teorema Phytagoras dan Tigaan Phytagoras (Phytagorean Triple), khususnya Tigaan Phytagoras Primitif (Primitive Phytagorean Triple); yakni tiga bilangan yang memenuhi Teorema Phytagoras, namun tidak mempunyai faktor sama (common factor).

.

Teorema Phytagoras: a^2 + b^2 = c^2.

Contoh Tigaan Phytagoras Primitif adalah 3, 4, dan 5.

3 ^2 + 4^2 = 5^2

9 + 16 = 25.

.

Tigaan Phytagoras dapat dibentuk melalui mengalikan Tigaan Phytagoras Primitif dengan bilangan bulat tertentu yang sama. Sebagai contoh kita ambil 3, 4, dan 5. Kita akan mengalikan masing-masing Tigaan Phytagoras Primitif tersebut dengan 2 dan mendapatkan:

.

6, 8, dan 10.

.

Ketiga angka tersebut merupakan Tigaan Phytagoras berikutnya.

.

6^2 + 8^2 = 10^2.

36 + 64 = 100.

.

Dengan demikian, kita dapat menuliskan Teorema Phytagoras sebagai:

.

p.a^2 + p.b^2 = p.c^2. Dengan p = 1,2,3,...... dan a, b, serta c merupakan Tigaan Phytagoras Primitif. Jadi, sekali lagi ketiganya harus dikalikan dengan bilangan bulat yang sama. Jika masing-masing dikalikan dengan bilangan bulat yang berbeda, maka persamaan Phytagoras itu tidak akan terpenuhi.

.

Kini kita akan kembali pada persamaan sebelumnya.

.

a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).

a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k

.

Pada persamaan di atas a^2 dikalikan a^k; b^2 dikalikan dengan b^k; c^2 dikalikan dengan c^k. Agar terdapat nilai a, b, dan c berupa bilangan bulat yang memenuhi teorema Phytagoras, maka: .

.

a^k = b^k = c^k

.

Dengan demikian, yang mungkin adalah a=b=c. Padahal a, b, dan c harus merupakan tiga bilangan bulat berbeda. Itulah sebabnya, kita dapat menyimpulkan bahwa mustahil ada tiga bilangan bulat yang memenuhi persamaan a^n + b^n = c^n untuk n lebih besar dibandingkan 2.

BERBAGAI PERSAMAAN KURVA POLAR

BERBAGAI PERSAMAAN KURVA POLAR.

.

Ivan Taniputera.

9 November 2017.

.

1. CISOID

.

Persamaan cisoid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 1/cos(a) - cos(a)

r(a) = sec(a) - cos(a)

.

Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

.

2.STROFOID

.

Persamaannya strofoid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 1/cos(a) - kcos(a)

r(a) = sec(a) - kcos(a).

.

Dengan k > 1.

.

Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

3. KARDIOID

.

Persamaan kardioid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 2pcos(a)+2q

Dengan p dan q adalah konstanta.

.

Gambarnya adalah sebagai berikut:

.

BULAN SIDEREAL DAN SINODIK

BULAN SIDEREAL DAN SINODIK.

.

Ivan Taniputera.

18 Agustus 2017.

.

Sebagai praktisi ilmu Astrologi, kita perlu mengenal pula ilmu Astronomi. Nicolaus Copernicus, Tycho Brahe, dan Johannes Kepler-tokoh-tokoh ternama dalam bidang Astronomi, ternyata adalah para praktisi Astrologi. Agar dapat menghasilkan ramalan yang lebih akurat, mereka lalu meneliti gerakan benda-benda langit, sehingga menemukan berbagai hukum tersohor dalam ilmu Astronomi. Dengan demikian, alangkah baiknya jika kita juga mempelajari ilmu Astronomi.

.

Artikel kali ini akan membahas mengenai apa yang dimaksud dengan bulan sidereal dan bulan sinodik.

.

Bulan Sidereal adalah waktu yang diperlukan oleh bulan berputar mengitari bumi dalam satu lingkaran penuh atau 360 derajat. Sedangkan bulan bulan sinodik adalah waktu yang diperlulan dari satu bulan baru ke bulan baru berikutnya. Keduanya tidaklah memiliki rentang waktu yang sama. Mengapa demikian? Jika kita mengambil kedudukan saat suatu bulan baru sebagai acuan, maka saat bulan sudah mengitari bumi dalam satu lingkaran penuh, bumi, bulan, dan matahari belumlah terletak segaris. Padahal letak segaris itu merupakan syarat bagi bulan baru. Itulah sebabnya, bulan harus bergerak sedikit lagi agar letaknya menjadi segaris dengan bumi beserta matahari dan bulan baru terjadi kembali. Dengan demikian, bulan sinodis lebih lama dibandingkan bulan sidereal. Agar jelasnya silakan perhatikan gambar sebagai berikut.

.

.

Lama bulan sidereal adalah 27 hari, 7 jam, dan 43 menit atau 27, 32166 hari.

Lama bulan sinodik adalah 29 hari, 12 jam, dan 44 menit atau 29, 53059 hari.

Itulah sebabnya, bulan baru terjadi setiap kurang lebih 29,5 hari.

.

Oleh karenanya kita dapat menghitung bahwa bulan bergerak 360 derajat:27,32166 setiap harinya atau 13,176 derajat.

.

Dengan demikian, kita sudah mengenal mengenai bulan sidereal dan sinodik.

MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30

MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30.

.

Ivan Taniputera.

15 Agustus 2017.

.

Saya baru saja mendapatkan teka teki matematika sebagai berikut.

.

.

Teka-teki tersebut jika dituangkan dengan kata-kata kurang lebih bunyinya adalah sebagai berikut. Kita diberikan delapan bola biliar masing-masing berangka: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan 15. Selanjutnya, kita diminta memilih tiga bola yang yang angkanya berjumlah 30.

.

Jika kita menggunakan cara berpikir konvensional, tentu tidak akan ketemu. Beberapa orang, mungkin akan mencoba solusi sebagai berikut.

1. Misalkan salah satu bola adalah 15; maka kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 15. Jadi, misalkan bola yang satu adalah 13, maka satunya harus berangka 2, yang ternyata tidak ada. Misalkan satunya bola berangka 11, maka satunya harus berangka 14, yang ternyata juga tidak ada. Misalkan bola yang satu berangka 9, maka bola satunya harus berjumlah 6; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 7, maka bola satunya harus berangka 8; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 5, maka bola satunya lagi harus berangka 10, yang ternyata juga tidak ada. Selanjutnya, bila bola yang satu berangka 3, maka yang satunya lagi harus berangka 12; yang ternyata juga tidak ada. Apabila bola yang satu berangka 1, maka satunya lagi harus berangka 14; yang ternyata tidak ada. Kesimpulannya, bola berangka 15 sudah pasti bukan jawabannya.
2. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 13. Apabila salah satu bola berangka 13, maka kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 17. Bila salah satu 15, maka satunya harus 2 (tidak ada). Kita dapat merumuskan kemungkinannya sebagai berikut.

11-6 (tidak ada)

9-8 (tidak ada)

7-10 (tidak ada)

5-12 (tidak ada)

3-14 (tidak ada)

1-16 (tidak ada).

.

3. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 11 dan seterusnya.

Ternyata kita tidak menemukan angka-angka yang sesuai.

Biasanya orang akan kebingungan. Lalu apakah jawabannya?

Seperti yang telah diungkapkan di atas, bila kita menerapkan cara berpikir konvensional, maka jawabannya tidak akan kita temukan.

Jawabannya sangat sederhana. BALIKLAH BOLA BERANGKA 9, SEHINGGA ANDA MENDAPATKAN BOLA BERANGKA 6. Jadi bola yang berangka 9 itu seharusnya berangka 6.

.

Dengan demikian, jawabannya adalah bola berangka 6, 11, dan 13. Untuk jelasnya silakan amati gambar sebagai berikut.

.

BUKTI POSTULAT EUCLIDES

BUKTI POSTULAT EUCLIDES

.

Ivan Taniputera.

4 Agustus 2017.

.

Euclides menyatakan dalam postulatnya, bahwa di antara dua titik hanya dapat dibuat satu garis saja.

.

Saya akan mencoba membuktikan hal ini secara matematis.

.

Misalkan terdapat titik P (a,b) dan Q (c,d). Dengan sumbu x dan sumbu y pada sistim koordinat sembarang.

.

Sudut α adalah sudut yang dibentuk antara garis dan sumbu x. Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

Tangen α dirumuskan sebagai (d-b)/(c-a).

.

Karena a,b,c, dan d masing-masing adalah konstanta.

.

Maka dapat disimpulkan bahwa hasil Tangen α adalah juga konstanta.

.

Jadi, jika a,b,c, dan d adalah konstanta, sehingga Tangen α juga konstanta, maka hanya dimungkinkan satu sudut dengan sumbu x saja yang dapat dibentuk oleh garis antara dua titik. 

.

Apabila dimungkinkan satu sudut saja yang terbentuk, kesimpulannya juga hanya satu garis saja yang mungkin terbentuk.

.

Dengan demikian, postulat Euclides telah terbukti.

PENYELESAIAN BEBERAPA SOAL MATEMATIKA (TOPIK: KOMPOSISI MATEMATIKA (TOPIK: KOMPOSISI FUNGSI DAN TRIGONOMETRI)

PENYELESAIAN BEBERAPA SOAL MATEMATIKA (TOPIK: KOMPOSISI FUNGSI DAN TRIGONOMETRI)

.

Ivan Taniputera.

18 Mei 2017.

.

1. Jika (f o g) = x^2 + 4x - 9 dan f(x) = x+3. Tentukan g(x).

Jawab:

.

Ini adalah soal komposisi fungsi.

Karena f o g merupakan fungsi kuadrat dan f(x) merupakan fungsi linear; maka g(x) sudah pasti merupakan fungsi kuadrat.

Kita misalkan g(x) = ax^2+bx+c

Masukkan g(x) ke f(x).

(f o g) (x) = (ax^2+bx+c) + 3

= ax^2 + bx + (c+3)

.

Jadi a = 1; b = 4

.

c+3 = -9; sehingga c = -12.

.

Oleh karenanya g(x) = x^2 + 4x - 12.

.

2. Diketahui f(x) = 1/2 x - 1 dan g(x) = 2x + 4. Tentukan (g o f)^-1(6).

.

Jawab:

.

Tentukan (g o f) terlebih dahulu:

(g o f) = 2 (1/2x - 1) + 4

= x - 2 + 4

= x + 2

.

Kini tentukan fungsi inversnya.

.

y = x + 2

x = y - 2

.

Jadi (g o f)^-1 (x) = x - 2.

.

(g o f)^-1 (6) = 4

.

3. Apabila n.tg 45⁰ .cos 60⁰ = sin 60⁰.cotg 60⁰. Hitunglah n.

.

Jawab:

.

Kita hitung dahulu nilai masing-masing.

.

n.1.1/2 = 1/2V3.1/3V3

.

CATATAN: V = tanda akar.

.

1/2.n = 1/2

Jadi n = 1

.

4. Tangen x = 1/V7. Tentukan nilai ((cosec^2(x)-sec^2(x))/(cosec^(x)+sec^2(x)).

.

Jawab:

Kita hitung dulu nilai secan (x) dan cosecan (x). 

Secan = sisi miring/sisi pada sudut

Cosecan = sisi miring / sisi di hadapan sudut.

.

Buat dulu gambar segitiganya. Ingat bahwa Tangen adalah sisi di hadapan sudut dibagi sisi pada sudut itu.

.

.

Secan (x) = V8/V7

Cosecan (x) = V8/1 atau V8.

.

Kemudian tinggal kita hitung saja.

.

= ((V8)^2-(V8/V7)^2)/((V8)^2+(V8/V7)^2)

= (8 - 8/7)(8+8/7)

= (48/7)(64/7)

= 3072/49

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL.

.

Ivan Taniputera.

17 Mei 2017.

.

Saya menemukan soal sebagai berikut:

.

“ Buktikan bahwa (81^100).(121^100)-1 hasilnya diakhiri paling tidak dengan dua angka 0.”

.

Saya akan memecahkan soal tersebut sebagai berikut.

.

(81^100).(121^100)-1 = ((9^2)^100).((11^2)^100)-1

= 99^200-1

= 99^200-1^200 [Satu dipangkatkan berapa saja tetap 1].

=((99)^2)^100 - ((1)^2)^100)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^a - q^a = (p-q)(p^(a-1) + (p^(a-2).q) + .........)

.

Jadi ((99^2)^100 - ((1^2)^100) = (99^2-1^2).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + ............)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^2-q^2 = (p+q).(p-q)

.

= (99 + 1).(99 - 1).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + ............)

= (100).(98).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + ............)

.

Perhatikan bahwa terdapat 100 sebagai faktor. Perkalian dengan 100 paling tidak akan memberikan hasil yang diakhiri dengan dua angka nol.

.

Sebagai tambahan, kita juga dapat menyimpulkan bahwa hasilnya pasti dapat dibagi atau merupakan kelipatan 98.