MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30.
.
Ivan Taniputera.
15 Agustus 2017.
.
Saya baru saja mendapatkan teka teki matematika sebagai berikut.
.
.
Teka-teki
tersebut jika dituangkan dengan kata-kata kurang lebih bunyinya adalah
sebagai berikut. Kita diberikan delapan bola biliar masing-masing
berangka: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan 15. Selanjutnya, kita diminta
memilih tiga bola yang yang angkanya berjumlah 30.
.
Jika
kita menggunakan cara berpikir konvensional, tentu tidak akan ketemu.
Beberapa orang, mungkin akan mencoba solusi sebagai berikut.
Misalkan salah satu bola adalah 15; maka
kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi
15. Jadi, misalkan bola yang satu adalah 13, maka satunya harus berangka
2, yang ternyata tidak ada. Misalkan satunya bola berangka 11, maka
satunya harus berangka 14, yang ternyata juga tidak ada. Misalkan bola
yang satu berangka 9, maka bola satunya harus berjumlah 6; yang ternyata
juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 7, maka bola satunya harus
berangka 8; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka
5, maka bola satunya lagi harus berangka 10, yang ternyata juga tidak
ada. Selanjutnya, bila bola yang satu berangka 3, maka yang satunya lagi
harus berangka 12; yang ternyata juga tidak ada. Apabila bola yang satu
berangka 1, maka satunya lagi harus berangka 14; yang ternyata tidak
ada. Kesimpulannya, bola berangka 15 sudah pasti bukan jawabannya.
Kita dapat melanjutkan dengan bola
berangka 13. Apabila salah satu bola berangka 13, maka kedua bola
lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 17. Bila
salah satu 15, maka satunya harus 2 (tidak ada). Kita dapat merumuskan
kemungkinannya sebagai berikut.
11-6 (tidak ada)
9-8 (tidak ada)
7-10 (tidak ada)
5-12 (tidak ada)
3-14 (tidak ada)
1-16 (tidak ada).
.
3. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 11 dan seterusnya.
Ternyata kita tidak menemukan angka-angka yang sesuai.
Biasanya orang akan kebingungan. Lalu apakah jawabannya?
Seperti
yang telah diungkapkan di atas, bila kita menerapkan cara berpikir
konvensional, maka jawabannya tidak akan kita temukan.
Jawabannya
sangat sederhana. BALIKLAH BOLA BERANGKA 9, SEHINGGA ANDA MENDAPATKAN
BOLA BERANGKA 6. Jadi bola yang berangka 9 itu seharusnya berangka 6.
.
Dengan demikian, jawabannya adalah bola berangka 6, 11, dan 13. Untuk jelasnya silakan amati gambar sebagai berikut.
Euclides menyatakan dalam postulatnya, bahwa di antara dua titik hanya dapat dibuat satu garis saja.
.
Saya akan mencoba membuktikan hal ini secara matematis.
.
Misalkan terdapat titik P (a,b) dan Q (c,d). Dengan sumbu x dan sumbu y pada sistim koordinat sembarang.
.
Sudut α adalah sudut yang dibentuk antara garis dan sumbu x. Gambarnya adalah sebagai berikut.
.
Tangen α dirumuskan sebagai (d-b)/(c-a).
.
Karena a,b,c, dan d masing-masing adalah konstanta.
.
Maka dapat disimpulkan bahwa hasil Tangen α adalah juga konstanta.
.
Jadi,
jika a,b,c, dan d adalah konstanta, sehingga Tangen α juga konstanta,
maka hanya dimungkinkan satu sudut dengan sumbu x saja yang dapat
dibentuk oleh garis antara dua titik.
.
Apabila dimungkinkan satu sudut saja yang terbentuk, kesimpulannya juga hanya satu garis saja yang mungkin terbentuk.
.
Dengan demikian, postulat Euclides telah terbukti.
BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?
.
Ivan Taniputera.
15 Mei 2017.
.
Pada
kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0
di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4
x 5 x 6 x.........x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan
menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual
akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan
menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.
.
Pertama-tama
kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil
setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian
antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena
kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup
menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam
bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai
jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan
jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.
.
Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.
.
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.
.
Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.
Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:
,
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2x5).
10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.
,
Total
perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut
pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh
menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol.
Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya
diikuti oleh dua angka nol.
.
Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.
.
30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x.........x 28 x 29 x 30.
.
Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:
.
5, 10, 15, 20, 25, dan 30.
.
5 = 1 x 5
10 = 2 x 5
15 = 3 x 5
20 = 4 x 5
25 = 5^2
30 = 5 x 6
.
Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x.........29
Jadi
secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti
oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah
265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti
oleh tujuh angka 0.
.
Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.
.
Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:
.
(5^n).x.
Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)
.
Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.
Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.
.
Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.
kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.
.
5^2 = 25
5^3 = 125
5^4 = 625
5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).
.
Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4. .
Untuk
nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 =
1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak
berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita
akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin.
Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal
ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.
.
Kini kita akan menghitung untuk n = 3. .
Untuk
n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang
mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni
sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.
.
Kita akan menghitung untuk n = 2. .
Untuk
n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang
mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga
79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.
.
Kita akan menghitung untuk n = 1 .
Untuk
n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang
mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga
403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1
Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.
.
Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).
.
Kini
tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima
bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.
.
Karenanya kita boleh menuliskan:
.
2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x......x 2017.
.
Dengan
demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka
0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual,
kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu
bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!
Ternyata
gambar itu membicarakan mengenai “paradoks pembohong” (liar paradox).
Ini merupakan salah satu teka-teki dan logika filsafat klasik di dunia.
Beberapa orang sudah memberikan pemecahannya, namun kali ini saya akan
mencoba mengemukakan pemecahan berdasarkan pemikiran saya sendiri.
.
Bagi yang belum memahami apa itu “paradoks pembohong” saya akan memaparkannya secara singkat dan sederhana.
.
Terdapat
seseorang pembohong yang seluruh perkataannya adalah kebohongan. Suatu
kali ia mengatakan sesuatu seperti “aku pembohong” atau “pernyataan ini
salah.” Permasalahannya adalah sebagai berikut. Bila pernyataan “aku
pembohong” adalah benar, maka yang dikatakannya itu adalah bukan
kebohongan. Dengan demikian pernyataan di atas, yakni “seluruh
perkataannya adalah kebohongan” tidak lagi berlaku. Terjadi kontradiksi
di sini. Begitu pula bila pernyataan itu dianggap kebohongan, maka yang
benar adalah ia sesungguhnya bukan pembohong. Jadi, terjadi pula
kontradiksi di sini.
.
Ringkasnya:
.
Jika
“aku pembohong” bernilai BENAR (TRUE), maka ia telah mengatakan hal
yang sebenarnya. Jadi definisi bahwa “seluruh perkataannya adalah
kebohongan” menjadi bernilai SALAH (FALSE).
Jika
“aku pembohong” bernilai SALAH (FALSE), maka ia adalah “bukan
pembohong” sehingga juga bertentangan pula dengan definisinya.
.
Begitu
pula, bila “pernyataan ini salah” bernilai BENAR (TRUE), maka ia telah
mengatakan hal yang sebenarnya, yakni hal itu memang salah. Jadi
definisi bahwa “seluruh perkataannya adalah kebohongan” menjadi bernilai
SALAH (FALSE).
Jika
“pernyataan ini salah” bernilai SALAH (FALSE), maka pernyataan itu
menjadi benar. Dengan demikian, ia telah mengatakan sesuatu yang benar.
Definisi bahwa seluruh perkataannya adalah kebohongan menjadi tidak
berlaku atau bertentangan dengan definisinya.
.
Versi
lain paradoks ini yang pernah saya jumpai adalah mengenai Pinokio. Jika
Pinokio mengatakan, “aku pembohong,” hidungnya akan bertambah panjang
atau pendek? Sebagaimana yang telah kita ketahui, jika berbohong Pinokio
akan bertambah panjang hidungnya.
.
Pemecahan
saya adalah sebagai berikut. Dalam matematika mustahil ada sesuatu yang
bertentangan dengan definisinya. Analogi sederhananya adalah sebagai
berikut. Bilangan bulat ganjil tidak dapat dibagi dua, maka artinya
peluang menemukan bilangan bulat ganjil yang dapat dibagi dua adalah
nol. Setiap bilangan bulat pasti genap atau ganjil. Tidak ada pula
bilangan yang sekaligus genap dan ganjil. Jadi, peluang menemukan
bilangan yang genap dan ganjil sekaligus juga sama dengan nol.
Selanjutnya, tidak ada pula bilangan bulat yang bukan ganjil dan juga
bukan genap. Menemukan bilangan bulat yang bukan ganjil dan juga bukan
genap adalah mustahil. Peluang menemukannya sama dengan nol pula. Jadi,
pernyataan “bilangan bulat ganjil yang dapat dibagi dua,” “bilangan
bulat yang sekaligus ganjil dan genap” dan “bilangan bulat yang bukan
ganjil dan juga bukan genap” adalah kemustahilan serta bersifat ambigu.
Semua itu dikarenakan pertentangan dengan definisinya.
.
Analogi
lain adalah lingkaran. Lingkaran dalam matematika didefinisikan sebagai
himpunan seluruh titik yang berjarak sama dengan sebuah titik pusat,
yang dalam hal ini disebut titik pusat lingkaran. Apakah ada lingkaran
yang berbentuk persegi? Jawabnya tidak ada, karena akan bertentangan
dengan definisi di atas. Titik-titik pada sebuah persegi mustahil
semuanya akan mempunyai jarak yang sama dengan suatu titik pusat. Apakah
ada lingkaran yang sekaligus persegi? Jawabnya tidak ada, karena itu
merupakan sesuatu yang ambigu. Kesimpulannya, definisi menghindarkan
sesuatu yang bersifat ambigu. Dengan kata lain, sesuatu yang bersifat
ambigu akan “ditapis” atau “disaring” keluar.
.
.
Kembali
pada paradoks di atas. Apabila definisi sudah jelas menyatakan
“seluruh perkataannya adalah kebohongan,” maka pernyataan bersifat
ambigu seperti “aku pembohong” mustahil dinyatakan oleh seseorang yang
“seluruh perkataannya adalah kebohongan.” Begitu pula mustahil terdapat
bilangan bulat yang sekaligus ganjil dan genap atau bilangan bulat yang
bukan ganjil dan genap. Peluang seseorang yang seluruh perkataannya
adalah kebohongan menyatakan “aku pembohong” adalah sama dengan nol.
Pada
kesempatan kali ini, saya ingin membahas mengenai hubungan antara massa
planet dan jumlah satelit yang dimilikinya. Pertama-tama saya akan
memaparkan massa masing-masing planet beserta jumlah bulan yang
dimilikinya.
.
Merkurius: massa: 0.055 x massa Bumi. Jumlah satelit: 0
Venus: massa: 0.815 x massa Bumi. Jumlah satelit: 0
Bumi: massa: 1 x massa Bumi. Jumlah satelit: 1
Mars: massa: 0.107 x massa Bumi. Jumlah satelit: 2
Jupiter: massa: 317.8 x massa Bumi. Jumlah satelit: 67
Saturnus: massa: 95.159 x massa Bumi. Jumlah satelit: 62
Uranus: massa: 15.536 x massa Bumi. Jumlah satelit: 27
Neptunus: massa: 17.147 x massa Bumi. Jumlah satelit: 14
Pluto: massa: 0.183 x massa Bumi. Jumlah satelit: 5
.
Sebagai
catatan: Jumlah satelit mungkin saja akan berubah seiring berjalannya
waktu, yakni dengan ditemukannya satelit-satelit baru yang belum
diketahui sebelumnya. Kedua, Pluto tetap saya masukkan sebagai planet.
.
Kita akan menuangkan hubungan tersebut dalam bentuk grafik.
.
.
Meski
nampak adanya kecenderungan planet dengan massa lebih besar mempunyai
banyak satelit; tetapi tidak ada hubungan langsung antara massa dengan
jumlah satelit. Sebagai contoh, Mars yang mempunyai massa lebih kecil
dibanding Bumi justru mempunyai satelit lebih banyak dibanding bumi.
Pluto yang mempunyai massa jauh lebih kecil dibanding Bumi, justru
mempunyai lima buah satelit.
.
Dengan
demikian, terdapat banyak faktor yang menentukan jumlah satelit.
Nampaknya jumlah satelit itu merupakan kebetulan saja. Hanya saja, massa
yang lebih besar memperbesar atau meningkatkan peluang suatu planet
menangkap benda langit lain yang melintas dan menjadikannya sebagai
satelit. Jadi, fungsi massa di sini hanya meningkatkan peluang suatu
planet mempunyai lebih banyak satelit, tetapi bukan satu-satunya
penentu.
.
Lebih
jauh lagi, menurut rumus hukum gravitasi universal Newton yang
memerikan besarnya gaya tarik menarik antara dua benda; yakni:
.
F = G.m1.m2/r^2
.
G = konstanta gravitasi
m1 dan m2 = massa
r = jarak kedua benda
.
jelas
sekali bahwa semakin besar m1 atau m2, semakin besar pula gaya tarik
menarik antara dua benda tersebut. Bila dikaitkan dengan jumlah satelit
yang dimiliki suatu planet, maka besarnya gaya tarik itu berperan
sebagai berikut:
.
1) Menarik benda-benda langit yang melintas dengannya dan menjadikan benda langit tersebut sebagai satelit.
2) Mempertahankan satelit yang telah dimilikinya.
.
Jadi, wajar saja jika planet dengan massa yang besar mempunyai peluang mempunyai lebih banyak satelit.
