SERIAL MATEMATIKA ITU MENYENANGKAN: MISTERI USIA DAN NOMOR HP ANDA

SERIAL MATEMATIKA ITU MENYENANGKAN: MISTERI USIA DAN NOMOR HP ANDA

Ivan Taniputera

29 Juli 2013

Saya baru saja menemukan status sebagai berikut dari teman (dikutip dengan perubahan seperlunya):

1. Kalikan angka terakhir nomor handphone Anda dengan 2.
2. Tambahkan hasilnya dengan 5.
3. Kalikan hasil pada nomor 2 dengan 50.
4. Tambahkan hasilnya dengan 1763.
5. Kurangi hasilnya dengan tahun kelahiran Anda.
6. Anda akan mendapatkan bilangan dengan tiga digit. Angka ratusannya adalah angka terakhir nomor handphone Anda. Dua angka berikutnya (ratusan dan puluhannya)  adalah umur Anda.

Contoh:

Misalnya nomor handphone Anda adalah 08xxxxxxx3, maka angka terakhirnya adalah 3, dikalikan 2 hasilnya adalah 6. Ditambah 5 menjadi 11. Jika dikalikan 50 menjadi 550. Hasilnya ditambah 1763. Jadi 550 + 1763 = 2313. Misalnya lahir pada tahun 1980, maka 2313-1980 = 333.

Sangat tepat sekali. Angka terakhir nomor handphone Anda adalah 3 dan umur Anda adalah 33.

Bagaimana rahasianya?

Mudah, kita dapat memecahkannya dengan aljabar.

Pertama-tama susun persamaan matematikanya terlebih dahulu

((X . 2) + 5) . 50 = 100 X +250, dengan X adalah angka terakhir nomor handphone Anda.
Lalu 100 X + 250 + 1763 - Y = 100 X + 2013 - Y.
Jadi jika disusun persamaan matematikan kita mengetahui bahwa sebenarnya Anda hanya mengalikan angka terakhir nomor handphone Anda dengan 100.
Rahasianya ada di mana? X adalah angka terakhir hp Anda, dengan mengalikan seratus, maka angka itu akan menjadi ratusan. Misalnya angka terakhir hp Anda adalah 3, dikali 100 menjadi 300. 2013 adalah tahun saat ini, dikurangi tahun kelahiran Anda, ya jelas akan menjadi umur Anda saat ini. Misalnya 2013-1980 = 33. 300 + 33 adalah 333.

Terpecahkan sudah berkat matematika.

APAKAH VOLUMENYA TETAP?

APAKAH VOLUMENYA TETAP?

Ivan Taniputera

3 Oktober 2013

Marilah kita cermati pertanyaan berikut. Misalkan ada cairan A sebanyak 2 liter, direaksikan dengan cairan B sebanyak 3 liter, sehingga membentuk senyawa misalnya A2B. Pertanyaannya apakah senyawa A2B itu volumenya akan menjadi 5 liter?

Jawabnya adalah tidak. Volumenya akan menyusut kurang dari 5 liter. Mengapa demikian?

Silakan berhatikan gambar ini,

Butiran-butiran berwarna kuning mewakili molekul-molekul zat A
Butiran-butiran berwarna biru mewakili molekul-molekul zat B

Sementara itu pada zat A2B, maka nampak bahwa molekul-molekul zat A dapat menyelip di antara molekul-molekul zat B. Oleh karenanya, volumenya pasti akan kurang dari 5 liter.

Namun massa zat adalah tetap. Sebagai contoh zat A sebanyak 2 kg  direaksikan zat B sebanyak 3 kg, maka zat A2B yang dihasilkan adalah pasti 5 kg.

Itulah sebabnya terdapat hukum kekekalan massa, tetapi tidak ada hukum kekalan volume.

PENJUMLAHAN DERET TAK HINGGA

PENJUMLAHAN DERET TAK HINGGA
 

Ivan Taniputera

2 Februari 2012

 

Beberapa waktu yang lalu, ada teman yang menanyakan berapakah 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +1/32 +........ =

Caranya sangat mudah. Kita tinggal menggunakan rumus deret tak hingga sebagai berikut:

S [tak hingga] = a/(1-r)

Dengan, a = suku pertama dan r adalah rasio atau perbandingan antara suku sesudah dan suku sebelumnya.

Dalam deret di atas a = 1/2; rasio = 1/4:1/2 = 1/2.

Masukkan ke rumus: S[tak hingga] = 1/2/(1-1/2); jawabnya adalah 1.

Mudah bukan?

BELAJAR FISIKA DAN MATEMATIKA MELALUI HUMOR

BELAJAR FISIKA DAN MATEMATIKA MELALUI HUMOR

Ivan Taniputera

28 April 2014

Pada kesempatan kali ini, kita akan mencoba menikmati humor intelektual, yakni humor yang agak "berat." Jenis humor ini memang memerlukan pengetahuan khusus agar dapat menikmati kelucuannya. Terkadang kita harus pula mengernyitkan dahi agar dapat menikmati kelucuannya. Berikut ini adalah humor yang pertama.

Einstein, Newton, dan Pascal sedang bermain petak umpet. Kini tiba giliran Newton dan Pascal untuk bersembunyi. Oleh karenanya, Einstein lantas menutup mata dan menghitung sampai sepuluh. Pascal segera berlari mencari tempat persempunyiannya. Sementara itu, Newton tidak pergi ke mana-mana dan hanya menggambar sebuah persegi di tanah, yang sisi-sisinya sepanjang 1 meter. Ia lalu berdiri di atas persegi yang digambarnya itu. Einstein telah selesai menghitung sampai sepuluh dan membuka matanya ia langsung melihat Newton, yang memang tidak pergi ke mana-mana.  Einstein langsung berkata, "Newton! Aku menemukanmu. Engkau kalah!" Newton berkata, "Engkau tidak menemukanku. Yang engkau temukan adalah satu Newton di atas 1 meter persegi. Dengan kata lain yang kau temukan adalah Pascal!"

Humor ini hanya dapat dipahami jika kita memiliki sedikit pengetahuan mengenai fisika. Dalam fisika, tekanan (p) didefinisikan sebagai gaya (F) dibagi luas permukaan (A).

p = F/A

Satuan gaya adalah Newton (N), sedangkan luas permukaan adalah meter persegi (m2). Satuan Newton/ meter persegi (N/m2) juga disebut Pascal.
Persegi yang bersisi 1 m, akan mempunyai luas 1 meter persegi (m2). Jadi Newton yang berdiri di atas persegi seluas 1 m2 adalah Newton/meter persegi (N/m2) alias Pascal!


Seorang serdadu Romawi memasuki sebuah kedai dan berkata, "Saya pesan lima potong roti," sambil mengacungkan dua jarinya.

Mungkin orang akan bingung, jika memesan lima potong roti, mengapa ia mengacungkan dua jari saja. Ternyata angka 5 Romawi adalah V.

Tiga orang ahli logika matematika memasuki sebuah warung kopi. Pelayan warung bertanya, "Apakah kalian semua hendak memesan kopi?"

Ahli logika pertama berkata, "Aku tidak tahu."
Ahli logika kedua berkata, "Aku tidak tahu."
Ahli logika ketiga berkata, "Ya. Kami semua mau pesan secangkir kopi."

Kita perlu mengernyitkan dahi terlebih dahulu saat membaca humor di atas. Penjelasannya adalah sebagai berikut. Pelayan menanyakan apakah mereka semua hendak memesan kopi. Para ahli logika matematika menganalisa pertanyaan sederhana tersebut dari segi logika matematika. Karena tidak mengetahui apa yang dipikirkan oleh kawan-kawannya, maka ahli logika pertama berkata, "Aku tidak tahu." Ahli logika kedua juga tidak mengetahui pikiran ahli logika ketiga oleh karena itu ia juga menjawab tidak tahu. Setelah mendengar jawaban kedua orang kawannya, ahli logika ketiga mengetahui bahwa mereka berdua tidak menolak memesan kopi. Jadi ia langsung menyimpulkan, "Ya. Kami semua mau pesan secangkir kopi."

Humor-humor intelektual di atas memang tidak selalu dapat membuat kita tertawa terbahak-bahak, namun akan membantu kita lebih memahami fisika beserta matematika.

Semoga bermanfaat.

MENENTUKAN RUMUS DAN MEMETAKAN JALUR GERAKAN SEBUAH PARTIKEL DENGAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN RUMUS DAN MEMETAKAN JALUR GERAKAN SEBUAH PARTIKEL DENGAN SOFTWARE Z-GRAPHER

Ivan Taniputera

26 April 2014

Sebuah partikel bergerak dengan v = 6 m/s, membentuk sudut 30 derajat dengan sumbu x ke arah kiri. Partikel tersebut mendapatkan percepatan a sebesar 5 m/s2 membentuk sudut 60 derajat dengan sumbu x ke arah kanan. Percepatan gravitasi sebesar 10 m/s2 ke arah bawah. Untuk jelasnya lihat gambar 1.

Kita lalu memecah vektor-vektornya berdasarkan sumbu koordinat seperti gambar di atas.

Kemudian kita dapat menyusun persamaan geraknya sebagai berikut.

Percepatan

x'' (t) = ax = 2.5 m/s2

y'' (t) = ay - g

        = 4.3-10 = -5.7 m/s2

Kecepatan (Integral percepatan)

x'(t) = 2.5.t - Vx

      = 2.5 t - 5.2 [m/s]

y'(t) = -5.7t + Vy

      = -5.7t +3 [m/s]

Letak (Integral kecepatan)

x(t) = 1.25t^2-5.2t [m]

y(t) = -2.85t^2+3t [m]

Persamaan gerak ini yang kemudian dimasukkan ke dalam software. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Dengan demikian, software Z-Grapher juga dapat membantu pemecahan soal-soal fisika.

MENENTUKAN APAKAH SEBUAH BILANGAN MERUPAKAN KELIPATAN 3

MENENTUKAN APAKAH SEBUAH BILANGAN MERUPAKAN KELIPATAN 3

Ivan Taniputera

6 September 2013

Sewaktu masih duduk di bangku Sekolah Dasar, saya diajarkan bahwa ciri khas bilangan kelipatan tiga adalah jika masing-masing angka digitnya dijumlahkan, maka hasilnya juga akan merupakan kelipatan tiga. 

Sebagai contoh adalah apakah 171 merupakan kelipatan tiga? Mari kita jumlahnya angka-angka digitnya: 1+7+1 dan hasilnya adalah 9. Sembilan adalah kelipatan 3, jadi 171 merupakan kelipatan tiga. Memang benar bahwa 171 = 3 x 57. Apakah 671 kelipatan tiga? Mari kita jumlahkan digit-digitnya. 6+7+1 = 14, karena 14 bukan kelipatan 3, maka 671 bukan kelipatan tiga. 

Namun karena masih duduk di bangku Sekolah Dasar, tentu saja saya belum diajarkan latar belakang atau bukti matematis bagi perhitungan tersebut.

Meskipun demikian, saya tergerak mencoba mencari bukti matematisnya, mengapa bilangan jika jumlah digitnya merupakan kelipatan tiga, maka bilangan itu juga kelipatan tiga. Tentu harus ada bukti matematis yang melatar-belakangi hal ini. Saya coba melakukan analisa matematis sebagai berikut.

Misalkan terdapat bilangan  .....edcba, dengan a, b, c, d, e, dst.. merupakan digit-digit angka tersebut. Jadi a merupakan satuan, b merupakan puluhan, c merupakan ratusan, d merupakan ribuan, e merupakan puluhan ribu, dan seterusnya. 

Dengan demikian jumlah digit-digitnya adalah a + b + c + d + e +......, yang kita misalkan merupakan kelipatan 3. Kita dapat menuliskannya sebagai berikut: a + b + c + d + e +...... = 3N. Dengan N adalah sembarang bilangan bulat  bukan nol. Ini kita sebut persamaan pertama.

.... edcba dapat kita tulis sebagai a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e. Ini kita sebut persamaan kedua.

Kini tugas kita adalah menghubungkan persamaan pertama dan kedua.

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = (a + b + c + d + e +......) + (9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + .....)

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = 3N + 9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + .....

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = 3N + 3*3.b + 3*33.c + 3*333.d + 3*3333.e +........

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +......= 3 (N + 3.b + 33.c + 333.d + 3333.e + ...........)

Dengan demikian, perhitungan di atas membuktikan bahwa selama hasil penjumlahan angka-angka digit sebuah bilangan merupakan kelipatan tiga, maka bilangan itu juga pasti akan merupakan kelipatan tiga. Dengan demikian terbukti sudah.

Matematika sungguh menyenangkan.

MENGENAL FUNGSI INVERS

MENGENAL FUNGSI INVERS

Ivan Taniputera

21 Juni 2013

Pada kesempatan kali ini, marilah kita mengenal apa yang dimaksud dengan fungsi invers. Bagi yang sudah lulus kuliah Kalkulus, artikel ini dapat menjadi wahana penyegaran terhadap matematika.

Fungsi invers biasanya dilambangkan dengan

Kini kita akan membahas bagaimana cara menemukan invers sebuah fungsi.

Kita ambil contoh fungsi f(x) = (x-1)/(x+5). Perhatikan langkah-langkah di bawah ini:

Kita ubah menjadi y = (x-1)/(x+5)

xy + 5y = -5y - 1

Kelompokkan x dan y pada satu sisi. xy-x = -5y-1

x(y-1) = -5y-1

x = (-5y-1)/(y-1)

Ganti x dengan y dan y dengan x. y = (-5x-1)/(x-1).

Fungsi inversnya adalah (-5x-1)/(x-1)

Lalu apakah yang dimaksud fungsi invers? Silakan perhatikan gambar di bawah ini:

[Dibuat dengan software Z-Grapher]

Nampak bahwa fungsi invers adalah cerminan terhadap garis y=x bagi fungsi asalnya.

Demikianlah kita telah sedikit mengulang mengenai fungsi invers.

MEMECAHKAN TEKA TEKI MATEMATIKA JADUL

MEMECAHKAN TEKA TEKI MATEMATIKA JADUL
.

Ivan Taniputera

15 Februari 2014
.

Saya menemukan teka-teki jadul berikut ini:

Dalam bahasa yang lebih modern, teka-teki di atas kurang lebih akan berbunyi sebagai berikut:

1.Kita diminta mengisikan angka 4 hingga 15 pada lingkaran-lingkaran kosong di gambar burung tersebut.
2.Jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran adalah empat kali angka pada lingkaran bertepi garis tebal.
3.Angka pada lingkaran bertepi garis ganda adalah separuh angka pada lingkaran bertepi garis tebal.
4.Apabila angka pada lingkaran bertepi garis tebal dikalikan dengan angka pada lingkaran bertepi garis ganda, maka hasilnya sama dengan jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran.

Anda boleh mencoba memecahkannya terlebih dahulu tanpa melihat pemecahannya di bawah ini.

ALUR PEMIKIRAN

Jika angka-angka yang diisikan pada lingkaran-lingkaran di atas, merupakan anggota himpunan B, maka B={x| 4<=x<=15, xE bilangan bulat} atau B={4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.

Kita misalkan angka pada lingkaran bertepi garis tebal = X dan angka pada lingkaran bertepi garis ganda = Y. Berdasarkan empat ketentuan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa X pasti adalah bilangan genap. Karena jika bukan bilangan genap, maka Y tidak mungkin menjadi separuh X.

Berlaku X = 2Y

Pada deretan angka 4 hingga 15, maka bilangan genap adalah 4, 6, 8, 10, 12, dan 14. Angka 4 dan 6 dapat kita keluarkan, karena separuh dari 4 adalah 2 dan separuh dari 6 adalah 3. Angka 2 dan 3 berada di luar deretan angka yang boleh diisikan. Dengan kata lain 2 dan 3 bukanlah elemen himpunan B.

Informasi berikutnya yang kita dapatkan adalah jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran adalah bilangan genap dan merupakan kelipatan empat, karena merupakan empat kali angka pada lingkaran bertepi garis tebal (X). Jadi jumlah angka pada setiap deretan 3 lingkaran adalah 4X.

Misalkan jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran kita misalkan = Z

Z = 4X = 4(2Y) = 8Y

Dengan X,Y,Z adalah anggota himpunan B.

Z secara spesifik adalah bilangan kelipatan delapan.

Jumlah deretan tiga angka terkecil adalah 15, yakni berasal jumlah tiga anggota terkecil himpunan B = 4+5+6.
Jumlah deretan tiga angka terbesar adalah 42, yakni berasal dari jumlah tiga anggkota terbesar himpunan B = 13+14+15

Jadi Z berkisar antara 15 dan 42. Kita mencari bilangan kelipatan 8 antara 15 dan 42, yakni 16, 24, dan 32. Perhatikan bahwa jika Z = 16, maka Y=2. Ini tidak mungkin, karena 2 bukan anggota himpunan B.
Perhatikan bahwa jika Z = 24, maka Y=3. Ini tidak mungkin, karena 3 bukan anggota himpunan B.

Jadi yang mungkin adalah 32.

Z=32, X=8, dan Y=4.

Dengan demikian kita telah menentukan lokasi angka 4 dan 8 secara pasti.

Langkah selanjutnya bersifat coba-coba dan merupakan seni, yakni dengan mencoba mengisikan angka-angka lainnya. Namun kita perlu pertimbangkan sebagai berikut. Di sebelah angka 8, minimal adalah angka 9, karena jika kita mengisikan pada lingkaran satunya dengan angka terbesar yang mungkin (15), maka lingkaran satunya harus berisikan 9. Jika kita mengisikan 8, maka lingkaran satunya harus diisi dengan 16 agar jumlahnya menjadi 32. Padahal 16 bukan anggota himpunan B.

Angka disamping 4 minimal adalah 13, karena jika kita mengisikan angka terbesar yang mungkin (15), maka lingkaran pada tepi satunya lagi harus diisi 13., jadi kemungkinannya tinggal 13, 14, 15.

Berikut ini adalah jawabannya.

Perhatikan bahwa letak angka 7 dan 11 dapat ditukar.

11+4+7 = 7+4+11

MENYELESAIKAN SOAL KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

MENYELESAIKAN SOAL KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Ivan Taniputera

20 April 2014

Pada hari ini saya tiba-tiba berniat mengulangi kembali pelajaran mekanika teknik yang diterima semasa kuliah dahulu. Berikut ini adalah soal lama yang hendak saya kerjakan ulang.

Dalam mengerjakan soal ini, kita perlu melakukan "freischneiden" atau dalam bahasa Inggris disebut "free body system" guna menentukan gaya-gaya yang bekerja pada sistim tersebut.



Selanjutnya tentukan sistim koordinatnya:

• Sumbu x ke kanan
• Sumbu y ke atas
• Momen searah jaruh jam adalah positif.

Kemudian terapkan tiga syarat kesetimbangan:

• Σ Fx = 0
• Σ Fy = 0
• Σ M(s) = 0

Σ Fx = 0

Bx - P = 0,

Sehingga Bx = p Newton

Σ Fy = 0

Ay+By-Q = 0

Dengan Q = q.m Newton (N)

Jadi: Ay+By-qm = 0 [persamaan 1]

Pusat momen kita pilih titik B.

Σ Mb = 0

-P.l + Ay.m - qm.1/2 m = 0

Jadi:

Ay.m = P.l + 1/2q.m^2

Ay = (2P.l + q.m^2)/2m Newton

Berdasarkan persamaan 1, maka

By = qm-Ay

By = qm - (2P.l + q.m^2)/2m

By = (2q.m^2 - 2P.l + q.m^2)/2m

By = (3q.m^2 - 2P.l)/2m Newton

Dengan demikian sudah terjawab semuanya.

A = p Newton.

Bx = (2P.l + q.m^2)/2m Newton

By = (3q.m^2 - 2P.l)/2m Newton

KITA SELALU HIDUP DI MASA LAMPAU

KITA SELALU HIDUP DI MASA LAMPAU

Ivan Taniputera

25 Mei 2014

Apakah Anda yakin bahwa Anda benar-benar dapat mengetahui apa yang terjadi "sekarang"? Hampir semua orang akan menjawab "ya." Namun apakah benar demikian? Jika Anda menyaksikan seseorang sedang berjalan di taman dan bintang yang berkedip-kedip di kejauhan, apakah peristiwa tersebut sungguh-sungguh terjadi "sekarang"? Marilah kita renungkan.

Kita mulai dengan indra penglihatan terlebih dahulu. Agar dapat melihat sesuatu kita memerlukan cahaya. Cahaya mengenai sebuah benda dan memantul kembali serta masuk ke mata kita. Selanjutnya dari mata dibawa ke otak melalui urat-urat syaraf, sehingga akhirnya kita sanggup melihat gambar tersebut. Demikianlah proses melihat secara sederhana. Namun kita jangan lupa bahwa perambatan cahaya dari benda ke mata kita juga memerlukan waktu. Meskipun cahaya merambat dengan sangat cepat (3 x 10^8 m/s), namun tetap saja perambatannya memerlukan waktu. Dengan kata lain, agar dapat melihat suatu obyek kasat mata, maka kita harus menunggu agar cahaya tersebut sampai ke mata kita. Selanjutnya kita harus menunggu pula agar gambaran tersebut sampai ke otak. Jadi terjadi penundaan secara eksternal maupun internal.

Bagi benda-benda yang relatif dekat, penundaan itu sangatlah singkat, tetapi bagi bintang-bintang yang sangat jauh, maka itu bisa berarti sangat lama. Contohnya adalah bintang yang berjarak 2 juta tahun cahaya dari bumi. Artinya agar dapat mencapai bintang tersebut dari bumi meskipun kita menggunakan roket yang berkecepatan cahaya, diperlukan waktu 2 juta tahun! Dengan demikian, cahaya bintang tersebut yang kita saksikan saat ini berasal dari 2 juta tahun lalu. Apabila kita ingin menyaksikan kondisi bintang tersebut "sekarang," maka kita harus menunggu 2 juta tahun lagi! Itulah sebabnya, bintang-bintang yang kita saksikan di langit saat ini adalah keadaannya beberapa juta tahun lalu, tergantung jaraknya dari bumi. Mungkin juga, saat ini bintang tersebut sudah tidak ada lagi.

Bunyi juga memerlukan waktu saat merambat dari sumber bunyi ke telinga kita. Kecepatan perambatan bunyi jauh lebih lambat dibanding cahaya. Itulah sebabnya kita menyaksikan kilatan petir terlebih dahulu dan setelah itu baru terdengar bunyinya. Cahaya petir lebih dahulu mencapai mata kita, ketimbang bunyinya mencapai telinga kita. Karena bunyi juga memerlukan waktu dalam mencapai telinga kita, maka suara yang kita dengar "sekarang" sesungguhnya berasal dari masa lampau. Kilat telah terjadi lebih dahulu, baru kita mendengar bunyinya. Hal yang sama berlaku pada mata, bunyi yang diterima telinga kemudian akan diteruskan ke otak, dimana hal itu juga memerlukan waktu. Jadi berlangsung waktu tunggu eksternal dan internal.

Begitu pula dengan bau yang berasal dari terlepasnya partikel-partikel suatu benda atau zat, dimana kemudian partikel-partikel itu diterima oleh reseptor pada hidung kita. Selanjutnya reseptor mengirim sinyal ke otak. Partikel merambat juga memerlukan waktu, begitu pula pengiriman sinyal dari reseptor. Terjadi pula waktu tunggu eksternal dan internal.

Barangkali yang tidak memerlukan waktu tunggu eksternal adalah indra peraba dan pengecap. Kita mengecap suatu cita rasa begitu makanan menempel pada lidah, jadi bersifat langsung. Tetapi reseptor pada lidah juga akan mengirim sinyal terlebih dahulu ke otak, sehingga tetap ada waktu tunggu internal. Hal yang sama berlaku pada indra peraba. Oleh karenanya, agar dapat mengecap atau meraba sesuatu, kita juga memerlukan waktu tunggu, yakni agar sinyal mencapai otak. Pada hewan-hewan berukuran besar seperti dinosaurus, mungkin sinyal-sinyal itu mencapai otak mereka dalam waktu lebih lama ketimbang manusia. Jadi misalkan ekor mereka terpotong, maka rasa sakitnya baru akan terasa beberapa waktu kemudian.

Berdasarkan kenyataan di atas, maka kita tidak akan pernah dapat mengetahui apa yang terjadi "sekarang." Kita akan senantiasa hidup di masa lampau.

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA FUNGSI KOMPOSISI & FUNGSI INVERS

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA FUNGSI KOMPOSISI & FUNGSI INVERS

Ivan Taniputera

28 April 2014

Diketahui fungsi:

• f(x) = 2+3x,
• g^-1(x) = 1/2x - 2

Ditanyakan:

a) (fog)^-1(2)
b) (gof)^-1(-3)

Jawaban

Untuk menjawab pertanyaan (a) di atas, maka pergunakan rumus:

(fog)^-1(x) = (g^-1 o f^-1)(x)

Jadi kita mencari terlebih dahulu f^-1(x).

f(x) = 2+3x
y = 2 + 3x
y-2 = 3x
x = 1/3(y-2)

Jadi f^-1(x) = 1/3(x-2)

Selanjutnya (g^-1 o f^-1)(x) = 1/2(1/3(x-2)) - 2
= 1/6x-1/3-2
= 1/6x-5/3

Maka: (fog)^-1(2) = 1/6*2 - 5/3 = -4/3

Untuk menjawab pertanyaan (a) di atas, maka pergunakan rumus:

(gof)^-1(x) = (f^-1og^-1)(x)

f^-1(x) telah ditentukan = 1/3(x-2).

Selanjutnya (f^-1og^-1)(x) = 1/6x-4/3

Maka (gof)^-1(-3) = -11/6

DASAR-DASAR PEMECAHAN SOAL PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

DASAR-DASAR PEMECAHAN SOAL PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Ivan Taniputera

26 Mei 2014

Terdapat beberapa metoda dalam memecahkan soal persamaan linear dua variabel, yakni:

1.Substitusi
2.Eliminasi
3.Metoda grafik

Sebagai contoh adalah soal sebagai berikut:

2x + y = 7
x +3y = 11

Cari nilai x dan y yang memenuhi persamaan linear dua variabel di atas.

1.METODA SUBSTITUSI

Cara: membuat salah satu persamaan ke dalam bentuk x =..... atau y = ...... Kemudian disubstitusikan pada persamaan satunya.

Contoh 2x + y = 7 kita ubah menjadi y = 7 - 2x.

Substitusikan pada persamaan satunya.

x + 3 (7-2x) = 11

x + 21-6x = 11

-5x = -10

x = 2

Substitusikan nilai x pada salah satu persamaan. Misalkan 2(2) + y = 7, didapatkan y = 3

Jad x = 2 dan y = 3


2.METODA ELIMINASI

Cara: menyamakan koefisien pada salah satu variabel pada kedua persamaan. Variabel itulah yang akan dieliminasi (dihilangkan).

Misalkan yang akan kita samakan adalah koefisien pada variabel x

x + 3y = 11 | x2
2x + y = 7   | x1

2x + 6y = 22
2x + y = 7  


Agar x tereliminasi (hilang) maka kedua persamaan di atas harus dikurangkan.

2x + 6y = 22
2x + y = 7  
------------------  -
      5y = 15

y = 3

Masukkan nilai y pada salah satu persamaan, didapatkan x = 2.

3.METODA GRAFIK


Cara: Gambar kedua persamaan sebagai grafik dan tentukan titik potongnya yang merupakan pemecahan bagi persamaan linear dua variabel tersebut.

Untuk menggambar persamaan linear itu gunakanlah metoda sebagai berikut.

Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x=0) dan titik potong dengan sumbu X (y=0)

x + 3y = 11

x        y
0       11/3
11     0

Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 11/3). Titik potong dengan sumbu X  adalah (11, 0).

2x + y = 7

x        y
0       7
7/2    0

Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 7). Titik potong dengan sumbu X adalah (7/2, 0).

Selanjutnya kita akan menggunakan software Z-Grapher untuk menggambar kedua persamaan tersebut serta mencari titik potong keduanya.



Nampak bahwa x = 2 dan y = 3.