MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN
.

Ivan Taniputera. 

26 September 2015
.

Apakah dapat kita membuktikan suatu bilangan merupakan kelipatan 7 tanpa pembagian, khususnya yang berdigit besar? Ya, jawabannya adalah dapat! Namun kita harus sudah mengetahui 12 bilangan asli pertama yang dapat dibagi dengan tujuh, yakni:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, dan 96.

 .
Agar jelasnya kita akan langsung mempraktikkannya dengan mengambil 649.349 sebagai contoh.

Pertama kurangkan 649.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 630.000.
.

649.349 

630.000 

----------- - 

  19.349

.

Kurangkan kembali 19.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 14.000.
.

19.349 

14.000 

 --------- - 

  5.349
.

Kurangkan kembali 5.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 4.900.
.

5.349 

4.900 

------- - 

   449

.
Kurangkan kembali 449 denga salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 420.
.

449 

420 

----- - 

  29

 .
Ternyata 29 bukan merupakan kelipatan 7. 

 .
Jadi 649.349 bukan kelipatan 7.
.

Intinya kita mengurangkan terus hingga jumlahnya lebih kecil dari 96. 

Jika hasil akhirnya merupakan kelipatan tujuh, maka bilangan tersebut kelipatan 7.
.

Silakan Anda coba dengan digit-digit lain yang lebih besar.
.

Secara matematis, kita dapat menuliskan metoda di atas sebagai berikut:

A - 7a - 7b - 7c - ........... = x

A adalah bilangan yang hendak kita cari apakah merupakan kelipatan tujuh atau bukan. 

7a, 7b, 7c, dan seterusnya, mewakili perkalian 12 bilangan asli pertama kelipatan tujuh dengan kelipatan 10. 

x adalah hasil akhir atau sisanya.

 .
Jika x merupakan keliatan 7, maka kita dapat menuliskan x sebagai 7X (sebagai pembeda, maka saya pergunakan X dengan huruf besar).

 .
Jadi: A - 7a - 7b - 7c -.......... = 7X
.

Kita pindahkan 7a, 7b, 7c, dan seterusnya ke ruas kanan.
.

A = 7X + 7a + 7b + 7c+ ...........
.

Lalu kita mengeluarkan angka 7
.

A = 7 (X + a + b + c + ....................)
.

Jadi terbukti bahwa A merupakan kelipatan 7.
.

Namun jika x bukan kelipatan 7, setelah 7a, 7b, 7c, dan seterusnya dipindah ke ruas kanan, maka angka 7 tidak dapat dikeluarkan, sehingga jelas sekali bahwa A bukan kelipatan 7.
.

Mudah dan sederhana, bukan?
.

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Ivan Taniputera.
24 September 2015

Banyak orag yang masih bingung dalam menerapkan permutasi dan kombinasi. Adapun rumus masing-masing adalah sebagai berikut:

Permutasi

P (n,k) = (n!)/(n-k)!

Kombinasi

C (n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)

Pertama-tama kita bahas contoh penggunaan permutasi terlebih dahulu.

Misalkan ada empat orang anak, sebut saja Andy (A), Benny (B), Clara (C), Doni (D). Di antara keempat anak itu, akan dipilih dua orang masing-masing sebagai ketua (K) dan wakil ketua kelas (W). Kita diminta menentukan ada berapa kemungkinan pasangan ketua kelas beserta wakilnya.

Adapun kemungkinannya sebagai berikut (yang disebutkan pertama adalah K, sedangkan yang disebut belakangan adalah W):

1) A, B
2) B, A
3) A, C
4) C, A
5) A, D
6) D, A
7) B, C
8) C, B
9) B, D
10) D, B
11) C, D
12) D, C

Nampak bahwa terdapat 12 kemungkinan. Dalam hal ini A sebagai ketua dan B sebagai wakil berbeda dengan B sebagai ketua dan A sebagai wakil. Oleh karenanya, pada contoh ini, urutan adalah sesuatu yang penting. Anggota sama tetapi urutan berbeda dianggap berbeda (A, B beda dengan B, A).

Dalam kasus ini kita harus menggunakan PERMUTASI.

P(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.

Dalam kasus kita, n = 4 dan k = 2

P(4,2) = (4!)/(4-2)!
= 12

Kini kita beralih pada Kombinasi. Contoh kasusnya adalah sebagai berikut. Anda diberi 4 buah soal, sebut saja A, B, C, dan D. Anda diminta memilih dan mengerjakan 2 soal saja. Adapun kemungkinannya adalah:

1) A, B
2) A, C
3) A, D
4) B, C
5) B, D
6) C, D

Semua terdapat 6 kemungkinan. Dalam hal ini, urutan tidak penting. Anda mengerjakan soal A dahulu baru B atau B dahulu baru A adalah sama. Jika kedua soal itu Anda kerjakan dengan benar, maka tidak peduli bagaimana pun urutan Anda mengerjakannya, Anda mendapatkan nilai yang sama.

Guna menyelesaikan soal-soal seperti ini, Anda harus menggunakan KOMBINASI.

C(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.

Dalam kasus kita, n = 4 dan k =2

C(4,2) = (4!)/(2!(4-2)!)
=6

Mudah bukan?

BILANGAN OKSIDASI KARBON (C) PADA BERBAGAI ASAM

BILANGAN OKSIDASI KARBON (C) PADA BERBAGAI ASAM 

Ivan Taniputera

27 Mei 2015

1) H2CO2 disebut Asam Karbonit

CO2 mempunyai bilangan oksidasi -2

Jadi Bilangan oksidasi C = -2+4, yakni +2

2) H2CO3 disebut Asam Karbonat

CO3 mempunyai bilangan oksidasi -2

Jadi bilangan oksidasi C = -2+6, yakni +4

3) H2CO4 disebut Asam Perkarbonat

CO4 mempunyai bilangan oksidasi -2

Jadi bilangan oksidasi C = -2+8, yakni +6

4 H2C2O4 disebut Asam Oksalat

C2O4 mempunyai bilangan oksidasi -2

Jadi bilangan oksidasi C = (-2+8):2, yakni +3

Dengan demikian, Karbon mungkin mempunyai bilangan oksidasi yang berbeda-beda.

PEMECAHAN SOAL SULIT DARI SINGAPURA

PEMECAHAN SOAL SULIT DARI SINGAPURA

Ivan Taniputera

15 April 2015

Berikut ini adalah soal matematika yang konon menghebohkan karena sulitnya. Soal tersebut konon pertama kali diunggah oleh  Kenneth Kong dari Singapura. Katanya ini merupakan soal SASMO

Adapun bunyi soal itu jika diterjemahkan adalah sebagai berikut:

"Albert dan Bernard baru saja berkawan dengan Cheryl. dan mereka ingin mengetahui kapan tanggal ulang tahunnya. Cheryl memberikan pada mereka sepuluh kemungkinan tanggal ulang tahunnya:

15 Mei   16 Mei     19 Mei

17 Juni   18 Juni

14 Juli    16 Juli

14 Agustus   15 Agustus 17 Agustus

Cheryl memberitahu Albert dan Bernard masing-masing secara terpisah, bulan dan tanggal ulang tahunnya.

Albert: saya tidak tahu kapan hari ulang tahun Cheryl, tetapi saya yakin Bernard tidak mengetahuinya juga.

Bernard: pada mulanya saya tidak mengetahui, kapan hari ulang tahun Cheryl, tetapi sekarang saya mengetahuinya.

Albert: maka saya juga mengetahui hari ulang tahun Cheryl.

Kapankah tanggal ulang tahun Cheryl

Saya mencoba menjawab soal di atas. 

Kuncinya adalah membuang tanggal-tanggal yang bersifat ambigu.

Pertama-tama bulan dan tanggal tersebut masing-masing akan saya buat menjadi seperti diagram di bawah ini.

Kemudian berdasarkan dialog di atas, yakni yang dikatakan oleh Albert dan Bernard, maka dapat disimpulkan bahwa data yang mereka punyai sudah cukup untuk mengetahui tanggal kelahiran Cheryl, yakni dengan melakukan langkah penyaringan logis terhadap 10 kemungkinan tanggal di atas.

Dengan kata lain, data bulan dan tanggal yang diberikan pada Albert dan Bernard sudah memadai digunakan menentukan tanggal kelahiran Cheryl yang pasti berdasarkan 10 kemungkinan pilihan. Kalau tidak, bagaimana mungkin kedua-duanya dapat mengetahui tanggal lahir Cheryl tersebut?

Berikut ini adalah langkah-langkah penyaringannya.

Pertama-tama, kita akan menghapus tanggal 18 dan 19, Alasannya:

Jika Bernard diberitahu tanggal 18, maka ia akan langsung mengetahui bahwa ulang tahun Cheryl adalah 18 Juni. Namun jika Albert diberitahu bulannya adalah Juni, maka ia akan bingung menentukan antara 17 dan 18 Juni. Dengan demikian tanggal 18 tidak mungkin. Karena kedua-duanya harus mendapatkan kepastian. 

Tanggal 19 juga dihapus dengan alasan yang sama. Bernard jika diberitahu tanggal 19, dia akan langsung tahu Cheryl berulang tahun 19 Mei. Sebaliknya jika Albert diberitahu bulan Mei, dia akan bingung menentukan tiga pilihan (15, 16, dan 19). Ini juga bertentangan dengan kesimpulan di atas (bahwa kedua-duanya harus mendapatkan kepastian).

Maka diagramnya sekarang menjadi seperti ini.

.

Kita melakukan penyaringan lebih lanjut.

Bulan Mei juga tidak mungkin. Karena jika Albert diberitahu bulannya adalah Mei, maka ada dua kemungkinan, 15 dan 16 Mei.

Tanggal 14 juga tidak mungkin, karena jika Bernard diberitahu tanggalnya adalah 14, maka ada dua kemungkinan: 14 Juli dan 14 Agustus.

Tanggal 15 juga tidak mungkin, karena jika Bernard diberitahu tanggalnya adalah 15, maka ada dua kemungkinan : 15 Mei dan 15 Agustus.

Dengan demikian yang tersisa adalah sebagai berikut:

.

Kita melakukan penyaringan lanjutan.

Tanggal 17 adalah tidak mungkin karena jika Bernard diberitahu tanggal 17, maka masih ada dua kemungkinan, yakni 17 Juli dan 17 Agustus. Tanggal 17 bisa kita hapus. Jika tanggal 17 kita hapus, maka bulan Juni dan Agustus juga turut terhapus, sehingga yang tersisa adalah tanggal 16 Juli.

.

Dengan demikian, kemungkinan hasilnya adalah tanggal: 

16 Juli

PEMIKIRAN ALTERNATIF.

Namun kita juga dapat menjawabnya dengan alur logika semacam ini:

Alternatif 1. Bulan Juni adalah tidak mungkin, karena kemungkinan yang tersisa dari bulan Juni adalah tanggal 17 Juni. Apabila Bernard diberitahu tanggal 17, maka ia akan bingung menentukan antara tanggal 17 Juni dan 17 Agustus. Bulan Juni dapat kita hapus, sehingga yang tersisa adalah 16 Juli dan 17 Agustus. Tetapi apabila Juni sudah dihapus, maka tidak terjadi kebingungan lagi dengan tanggal 17. Tanggal 17 hanya akan mengacu pada 17 Agustus. Dengan demikian, soal ini akan mempunyai dua jawaban: 16 Juli dan 17 Agustus.

Jika Cheryl berulang tahun tanggal 16 Juli, maka Albert yang diberitahu bulannya Juli akan langsung mengetahui bahwa tanggalnya 16. Bernard yang diberitahu tanggalnya 16, akan mengetahui bahwa bulannya adalah Juli. Sementara itu, apabila Cheryl berulang tahun tanggal 17 Agustus, jika Albert diberitahu bulannya adalah Agustus, maka ia akan mengetahui bahwa tanggalnya adalah 17. Sementara itu, Bernard yang diberitahu bahwa tanggalnya 17, akan mengetahui bahwa bulannya adalah Agustus. Tidak ada lagi yang bersifat ambigu di sini.

Sebagai catatan, mungkin akan ada yang bertanya, mengapa kita tidak menghapuskan tanggal 17? Jika bulan Juni sudah dihapus, maka tidak ada kebingungan lagi dengan tanggal 17, karena yang tersisa adalah perkawanan satu-satu. Kita tidak perlu lagi menghapus tanggal 17 karenanya.

Alternatif 2. Bulan Agustus adalah tidak mungkin, karena kemungkinan yang tersisa dari bulan Agustus adalah 17 Agustus. Apabila Bernard diberitahu tanggal 17, maka ia akan bingung menentukan antara tanggal 17 Juni dan 17 Agustus. Bulan Agustus dapat kita hapus, sehingga yang tersisa adalah 17 Juni. Tetapi apabila Agustus sudah dihapus, maka tidak terjadi kebingungan lagi dengan tanggal 17. Tanggal 17 hanya akan mengacu pada 17 Juni. Dengan demikian, soal ini mempunyai dua jawaban: 16 Juli dan 17 Juni.

Jika Cheryl berulang tahun tanggal 16 Juli, Albert yang diberitahu bulannya Juli akan mengetahui bahwa tanggalnya 16. Bernard yang diberitahu tanggalnya 16, akan mengetahui bahwa bulannya adalah Juli. Sementara itu, jika Cheryl berulang tahun tanggal 17 Juni, apabila Albert diberitahu bulannya adalah Juni, ia akan mengetahui bahwa tanggalnya adalah 17. Sementara itu, Bernard yang diberitahu bahwa tanggalnya 17, akan  mengetahui bahwa bulannya adalah Juni. Tidak ada lagi yang bersifat ambigu di sini.

Sebagai catatan, mungkin akan ada yang bertanya, mengapa kita tidak menghapuskan tanggal 17? Jika bulan Juni sudah dihapus, maka tidak ada kebingungan lagi dengan tanggal 17, karena yang tersisa adalah perkawanan satu-satu. Kita tidak perlu  lagi menghapus tanggal 17 karenanya.

Kedua alternatif di atas secara alur logika, seharusnya juga sahih, walaupun sesungguhnya tidak mungkin seseorang mempunyai dua tanggal kelahiran.

Dengan demikian, soal ini mempunyai 3 alternatif jawaban:

ALTERNATIF 1: 16 Juli

ALTERNATIF 2: 16 Juli dan 17 Agustus

ALTERNATIF 3: 16 Juli dan 17 Juni

Tergantung bagaimana alur logika kita. 

Semoga bermanfaat.

Bimbingan belajar untuk Kota Semarang.

BELAJAR TEOREMA SISA SUKU BANYAK DENGAN MUDAH

BELAJAR TEOREMA SISA SUKU BANYAK DENGAN MUDAH

Ivan Taniputera

2 April 2015

Teorema sisa suku banyak sebenarnya tidak sulit. Prinsipnya sama dengan konsep pembagian yang pernah kita pelajari sewaktu duduk di bangku sekolah dasar (sd). Sebagai contoh kita ambil 7 dibagi 2.

7 : 2 = 3 sisa 1

3 disebut hasil bagi

1 disebut sisa hasil bagi atau sisa.

Dengan demikian kita boleh juga menuliskan: 

7 = 2 x 3 + 1

Begitu pula dengan teorema sisa pembagian suku banyak, konsepnya juga sama.

Sebagai contoh kita hendak membagi sebuah suku banyak f(x), dbagi dengan g(x). misalkan H(x) adalah hasil bagi suku banyak, sedangkan S(x) adalah sisa pembagian suku banyak.

f(x) : g(x) = H(x) + S(x).

Dengan demikian kita boleh pula menuliskan:

f(x) = g(x).H(x) + S(x).

Selanjutnya, Mari kita perhatikan pembagian dengan g(x) = (ax-b) berikut ini.

Sebuah suku banyak f(x) hendak dibagi dengan g(x) = (ax-b). Berapakan sisanya?

Pertama-tama kita akan perlu mencari akar g(x), yakni sebuah nilai x yang dapat menjadikan g(x) bernilai sama dengan 0.

Akar g(x) dapat dicari sebagai berikut.

g(x) = 0

ax-b = 0

x = b/a

Sisa pembagian dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai x = b/a pada f(x). Jadi f(b/a) = S(b/a). 

Penjelasannya sebagai berikut.

f(b/a) = g(b/a).H(b/a) + S(b/a)

Ingat bahwa g(b/a) = 0

Jadi:

f(b/a) = 0 + S(b/a)

f(b/a) = S(b/a)

Sangat mudah bukan?

CONTOH SOAL:

f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1 dibagi dengan g(x) = x-2. Berapakan sisanya?

Jawab:

g(x) = 0

x-2 = 0

x = 2

Sisanya adalah:

S(2) = f(2)

S(2) = 2^3 + 2.(2)^2 - 2 + 1

S(2) = 8 + 8 - 2 + 1

S(2) = 15

SOAL-SOAL TRIGONOMETRI BESERTA JAWABANNYA

SOAL-SOAL TRIGONOMETRI BESERTA JAWABANNYA

Ivan Taniputera

21 Februari 2015

1.      Sin 60 Cos 300 + Cos 60 Sin 300 =

JAWABAN:

Cos 300 = Cos (360-60)

Cos 300 = Cos 60

Cos 300 = 1/2

Sin 300 = Sin (360-60)

Sin 300 = -Sin 60

Sin 300 = -1/2V3

Jadi:

Sin 60 Cos 300 + Cos 60 Sin 300 = 1/2V3.1/2 + 1/2.(-1/2V3)

 = 1/4V3 - 1/4V3

= 0

2.      (Cos 30 Sin 45 + tan 60 cos 30)/Sec60

JAWABAN:

= (1/2V3.1/2 V2 + v3.1/2V3)/2

= (1/4V6 + 3/2)/2

=((V6+6)/4)/2

= (V6+6)/8

  

3.      Sin(180+a)/Sin(90-a)=

JAWABAN:

Sin (180+a) = -Sin a Karena  kelipatan genap di kuadran  III, sinus adalah minus

Sin (90-a) = Cos a karena kelipatan ganjil di kuadran I, dimana semua adalah plus.

Jadi:

Sin(180+a)/Sin(90-a)= -Sin a/Cos a

= -Tg a

Ingat Tg a = Sin a/Cos a

4.      -Sin 60 - Cos 30 - Tan 60=

JAWABAN:

= -1/2V3 - 1/2V3-V3

= (-V3-V3-2V3)/2

=(-4V3)/2

= - 2V3

 

5.      (Cos 135.Tan 135)/(Cos 225.Sin 150)=

JAWABAN:

Cos 135 = Cos (90+45)

= -Sin 45 (kelipatan ganjil dan terletak di Kuadran II)

= -1/2V2

Tan 135 = Tan (90+45)

= -Cotg 45 (kelipatan ganjil dan terletak di Kuadran II)

=-1

Cos 225 = Cos (180+45)

=-Cos 45 (kelipatan genap dan terletak di kuadran III)

=-1/2V2

Sin 150 = Sin (180-30)

=Sin 30 (kelipatan genap dan terletak di kuadran II)

=1/2

Jadi (Cos 135.Tan 135)/(Cos225.Sin 150) = (-1/2V2)(-1)/(-1/2V2)(1/2)

=(-1)/(1/2)

=-2

  

6.      (Sin pi/2 + Cos 2pi-3cos pi/3)/(Cospi + Tan 3/4 pi) =

JAWABAN:

(Sin pi/2 + Cos 2pi-3cos pi/3)/(Cos pi + Tan 3/4 pi) = (Sin 90 + cos 180+ 3Cos 60)/(Cos 180+Tan 135)

(Sin 90 + cos 360 + 3Cos 60)/(Cos 180+Tan 135)= (1+1+3/2)/(-1+(-1))

=(7/2)/(-2)

=-7/4

Bimbingan belajar untuk kota Semarang silakan kunjungi:

https://www.facebook.com/groups/539848279458850/

SOAL-SOAL FISIKA SMU: MENGHITUNG TITIK BERAT SEBUAH BANGUN

SOAL-SOAL FISIKA SMU: MENGHITUNG TITIK BERAT SEBUAH BANGUN

Ivan Taniputera

11 Februari 2015

Tentukan letak titik berat bangun datar berikut ini.

Jawaban:

Rumus mencari titik berat segitiga siku-siku adalah sebagai berikut:

Maka letak titik berat masing-masing bagian dapat ditentukan sebagai berikut:

X1 = 40

Y1 = 40

X2 = 70

Y2 = 60

A1 = 3600. 

A2 = 2400

Rumusnya adalah sebagai berikut:

X = (A1.x1+A2.x2+A3.x3+.........)/(A1+A2+A3+.......)

Y = (A1.y1+A2.y2+A3.y3+.........)/(A1+A2+A3+.......)

X = ((3600.40) + (70.2400))/6000

X =(144.000 + 168.000)/6000 = 52

Y =((3600.40) + (2400.60))/6000

Y =(144.000 + 144.000)/6000 = 48

Jadi jawabannya adalah (52,48)