Sebagai
praktisi ilmu Astrologi, kita perlu mengenal pula ilmu Astronomi.
Nicolaus Copernicus, Tycho Brahe, dan Johannes Kepler-tokoh-tokoh
ternama dalam bidang Astronomi, ternyata adalah para praktisi Astrologi.
Agar dapat menghasilkan ramalan yang lebih akurat, mereka lalu meneliti
gerakan benda-benda langit, sehingga menemukan berbagai hukum tersohor
dalam ilmu Astronomi. Dengan demikian, alangkah baiknya jika kita juga
mempelajari ilmu Astronomi.
.
Artikel kali ini akan membahas mengenai apa yang dimaksud dengan bulan sidereal dan bulan sinodik.
.
Bulan
Sidereal adalah waktu yang diperlukan oleh bulan berputar mengitari
bumi dalam satu lingkaran penuh atau 360 derajat. Sedangkan bulan bulan
sinodik adalah waktu yang diperlulan dari satu bulan baru ke bulan baru
berikutnya. Keduanya tidaklah memiliki rentang waktu yang sama. Mengapa
demikian? Jika kita mengambil kedudukan saat suatu bulan baru sebagai
acuan, maka saat bulan sudah mengitari bumi dalam satu lingkaran penuh,
bumi, bulan, dan matahari belumlah terletak segaris. Padahal letak
segaris itu merupakan syarat bagi bulan baru. Itulah sebabnya, bulan
harus bergerak sedikit lagi agar letaknya menjadi segaris dengan bumi
beserta matahari dan bulan baru terjadi kembali. Dengan demikian, bulan
sinodis lebih lama dibandingkan bulan sidereal. Agar jelasnya silakan
perhatikan gambar sebagai berikut.
.
.
Lama bulan sidereal adalah 27 hari, 7 jam, dan 43 menit atau 27, 32166 hari.
Lama bulan sinodik adalah 29 hari, 12 jam, dan 44 menit atau 29, 53059 hari.
Itulah sebabnya, bulan baru terjadi setiap kurang lebih 29,5 hari.
.
Oleh karenanya kita dapat menghitung bahwa bulan bergerak 360 derajat:27,32166 setiap harinya atau 13,176 derajat.
.
Dengan demikian, kita sudah mengenal mengenai bulan sidereal dan sinodik.
MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30.
.
Ivan Taniputera.
15 Agustus 2017.
.
Saya baru saja mendapatkan teka teki matematika sebagai berikut.
.
.
Teka-teki
tersebut jika dituangkan dengan kata-kata kurang lebih bunyinya adalah
sebagai berikut. Kita diberikan delapan bola biliar masing-masing
berangka: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan 15. Selanjutnya, kita diminta
memilih tiga bola yang yang angkanya berjumlah 30.
.
Jika
kita menggunakan cara berpikir konvensional, tentu tidak akan ketemu.
Beberapa orang, mungkin akan mencoba solusi sebagai berikut.
Misalkan salah satu bola adalah 15; maka
kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi
15. Jadi, misalkan bola yang satu adalah 13, maka satunya harus berangka
2, yang ternyata tidak ada. Misalkan satunya bola berangka 11, maka
satunya harus berangka 14, yang ternyata juga tidak ada. Misalkan bola
yang satu berangka 9, maka bola satunya harus berjumlah 6; yang ternyata
juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 7, maka bola satunya harus
berangka 8; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka
5, maka bola satunya lagi harus berangka 10, yang ternyata juga tidak
ada. Selanjutnya, bila bola yang satu berangka 3, maka yang satunya lagi
harus berangka 12; yang ternyata juga tidak ada. Apabila bola yang satu
berangka 1, maka satunya lagi harus berangka 14; yang ternyata tidak
ada. Kesimpulannya, bola berangka 15 sudah pasti bukan jawabannya.
Kita dapat melanjutkan dengan bola
berangka 13. Apabila salah satu bola berangka 13, maka kedua bola
lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 17. Bila
salah satu 15, maka satunya harus 2 (tidak ada). Kita dapat merumuskan
kemungkinannya sebagai berikut.
11-6 (tidak ada)
9-8 (tidak ada)
7-10 (tidak ada)
5-12 (tidak ada)
3-14 (tidak ada)
1-16 (tidak ada).
.
3. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 11 dan seterusnya.
Ternyata kita tidak menemukan angka-angka yang sesuai.
Biasanya orang akan kebingungan. Lalu apakah jawabannya?
Seperti
yang telah diungkapkan di atas, bila kita menerapkan cara berpikir
konvensional, maka jawabannya tidak akan kita temukan.
Jawabannya
sangat sederhana. BALIKLAH BOLA BERANGKA 9, SEHINGGA ANDA MENDAPATKAN
BOLA BERANGKA 6. Jadi bola yang berangka 9 itu seharusnya berangka 6.
.
Dengan demikian, jawabannya adalah bola berangka 6, 11, dan 13. Untuk jelasnya silakan amati gambar sebagai berikut.
Euclides menyatakan dalam postulatnya, bahwa di antara dua titik hanya dapat dibuat satu garis saja.
.
Saya akan mencoba membuktikan hal ini secara matematis.
.
Misalkan terdapat titik P (a,b) dan Q (c,d). Dengan sumbu x dan sumbu y pada sistim koordinat sembarang.
.
Sudut α adalah sudut yang dibentuk antara garis dan sumbu x. Gambarnya adalah sebagai berikut.
.
Tangen α dirumuskan sebagai (d-b)/(c-a).
.
Karena a,b,c, dan d masing-masing adalah konstanta.
.
Maka dapat disimpulkan bahwa hasil Tangen α adalah juga konstanta.
.
Jadi,
jika a,b,c, dan d adalah konstanta, sehingga Tangen α juga konstanta,
maka hanya dimungkinkan satu sudut dengan sumbu x saja yang dapat
dibentuk oleh garis antara dua titik.
.
Apabila dimungkinkan satu sudut saja yang terbentuk, kesimpulannya juga hanya satu garis saja yang mungkin terbentuk.
.
Dengan demikian, postulat Euclides telah terbukti.
BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?
.
Ivan Taniputera.
15 Mei 2017.
.
Pada
kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0
di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4
x 5 x 6 x.........x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan
menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual
akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan
menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.
.
Pertama-tama
kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil
setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian
antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena
kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup
menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam
bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai
jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan
jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.
.
Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.
.
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.
.
Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.
Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:
,
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2x5).
10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.
,
Total
perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut
pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh
menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol.
Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya
diikuti oleh dua angka nol.
.
Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.
.
30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x.........x 28 x 29 x 30.
.
Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:
.
5, 10, 15, 20, 25, dan 30.
.
5 = 1 x 5
10 = 2 x 5
15 = 3 x 5
20 = 4 x 5
25 = 5^2
30 = 5 x 6
.
Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x.........29
Jadi
secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti
oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah
265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti
oleh tujuh angka 0.
.
Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.
.
Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:
.
(5^n).x.
Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)
.
Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.
Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.
.
Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.
kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.
.
5^2 = 25
5^3 = 125
5^4 = 625
5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).
.
Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4. .
Untuk
nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 =
1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak
berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita
akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin.
Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal
ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.
.
Kini kita akan menghitung untuk n = 3. .
Untuk
n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang
mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni
sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.
.
Kita akan menghitung untuk n = 2. .
Untuk
n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang
mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga
79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.
.
Kita akan menghitung untuk n = 1 .
Untuk
n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang
mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga
403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1
Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.
.
Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).
.
Kini
tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima
bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.
.
Karenanya kita boleh menuliskan:
.
2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x......x 2017.
.
Dengan
demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka
0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual,
kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu
bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!
Ternyata
gambar itu membicarakan mengenai “paradoks pembohong” (liar paradox).
Ini merupakan salah satu teka-teki dan logika filsafat klasik di dunia.
Beberapa orang sudah memberikan pemecahannya, namun kali ini saya akan
mencoba mengemukakan pemecahan berdasarkan pemikiran saya sendiri.
.
Bagi yang belum memahami apa itu “paradoks pembohong” saya akan memaparkannya secara singkat dan sederhana.
.
Terdapat
seseorang pembohong yang seluruh perkataannya adalah kebohongan. Suatu
kali ia mengatakan sesuatu seperti “aku pembohong” atau “pernyataan ini
salah.” Permasalahannya adalah sebagai berikut. Bila pernyataan “aku
pembohong” adalah benar, maka yang dikatakannya itu adalah bukan
kebohongan. Dengan demikian pernyataan di atas, yakni “seluruh
perkataannya adalah kebohongan” tidak lagi berlaku. Terjadi kontradiksi
di sini. Begitu pula bila pernyataan itu dianggap kebohongan, maka yang
benar adalah ia sesungguhnya bukan pembohong. Jadi, terjadi pula
kontradiksi di sini.
.
Ringkasnya:
.
Jika
“aku pembohong” bernilai BENAR (TRUE), maka ia telah mengatakan hal
yang sebenarnya. Jadi definisi bahwa “seluruh perkataannya adalah
kebohongan” menjadi bernilai SALAH (FALSE).
Jika
“aku pembohong” bernilai SALAH (FALSE), maka ia adalah “bukan
pembohong” sehingga juga bertentangan pula dengan definisinya.
.
Begitu
pula, bila “pernyataan ini salah” bernilai BENAR (TRUE), maka ia telah
mengatakan hal yang sebenarnya, yakni hal itu memang salah. Jadi
definisi bahwa “seluruh perkataannya adalah kebohongan” menjadi bernilai
SALAH (FALSE).
Jika
“pernyataan ini salah” bernilai SALAH (FALSE), maka pernyataan itu
menjadi benar. Dengan demikian, ia telah mengatakan sesuatu yang benar.
Definisi bahwa seluruh perkataannya adalah kebohongan menjadi tidak
berlaku atau bertentangan dengan definisinya.
.
Versi
lain paradoks ini yang pernah saya jumpai adalah mengenai Pinokio. Jika
Pinokio mengatakan, “aku pembohong,” hidungnya akan bertambah panjang
atau pendek? Sebagaimana yang telah kita ketahui, jika berbohong Pinokio
akan bertambah panjang hidungnya.
.
Pemecahan
saya adalah sebagai berikut. Dalam matematika mustahil ada sesuatu yang
bertentangan dengan definisinya. Analogi sederhananya adalah sebagai
berikut. Bilangan bulat ganjil tidak dapat dibagi dua, maka artinya
peluang menemukan bilangan bulat ganjil yang dapat dibagi dua adalah
nol. Setiap bilangan bulat pasti genap atau ganjil. Tidak ada pula
bilangan yang sekaligus genap dan ganjil. Jadi, peluang menemukan
bilangan yang genap dan ganjil sekaligus juga sama dengan nol.
Selanjutnya, tidak ada pula bilangan bulat yang bukan ganjil dan juga
bukan genap. Menemukan bilangan bulat yang bukan ganjil dan juga bukan
genap adalah mustahil. Peluang menemukannya sama dengan nol pula. Jadi,
pernyataan “bilangan bulat ganjil yang dapat dibagi dua,” “bilangan
bulat yang sekaligus ganjil dan genap” dan “bilangan bulat yang bukan
ganjil dan juga bukan genap” adalah kemustahilan serta bersifat ambigu.
Semua itu dikarenakan pertentangan dengan definisinya.
.
Analogi
lain adalah lingkaran. Lingkaran dalam matematika didefinisikan sebagai
himpunan seluruh titik yang berjarak sama dengan sebuah titik pusat,
yang dalam hal ini disebut titik pusat lingkaran. Apakah ada lingkaran
yang berbentuk persegi? Jawabnya tidak ada, karena akan bertentangan
dengan definisi di atas. Titik-titik pada sebuah persegi mustahil
semuanya akan mempunyai jarak yang sama dengan suatu titik pusat. Apakah
ada lingkaran yang sekaligus persegi? Jawabnya tidak ada, karena itu
merupakan sesuatu yang ambigu. Kesimpulannya, definisi menghindarkan
sesuatu yang bersifat ambigu. Dengan kata lain, sesuatu yang bersifat
ambigu akan “ditapis” atau “disaring” keluar.
.
.
Kembali
pada paradoks di atas. Apabila definisi sudah jelas menyatakan
“seluruh perkataannya adalah kebohongan,” maka pernyataan bersifat
ambigu seperti “aku pembohong” mustahil dinyatakan oleh seseorang yang
“seluruh perkataannya adalah kebohongan.” Begitu pula mustahil terdapat
bilangan bulat yang sekaligus ganjil dan genap atau bilangan bulat yang
bukan ganjil dan genap. Peluang seseorang yang seluruh perkataannya
adalah kebohongan menyatakan “aku pembohong” adalah sama dengan nol.
Pada
kesempatan kali ini, saya ingin membahas mengenai hubungan antara massa
planet dan jumlah satelit yang dimilikinya. Pertama-tama saya akan
memaparkan massa masing-masing planet beserta jumlah bulan yang
dimilikinya.
.
Merkurius: massa: 0.055 x massa Bumi. Jumlah satelit: 0
Venus: massa: 0.815 x massa Bumi. Jumlah satelit: 0
Bumi: massa: 1 x massa Bumi. Jumlah satelit: 1
Mars: massa: 0.107 x massa Bumi. Jumlah satelit: 2
Jupiter: massa: 317.8 x massa Bumi. Jumlah satelit: 67
Saturnus: massa: 95.159 x massa Bumi. Jumlah satelit: 62
Uranus: massa: 15.536 x massa Bumi. Jumlah satelit: 27
Neptunus: massa: 17.147 x massa Bumi. Jumlah satelit: 14
Pluto: massa: 0.183 x massa Bumi. Jumlah satelit: 5
.
Sebagai
catatan: Jumlah satelit mungkin saja akan berubah seiring berjalannya
waktu, yakni dengan ditemukannya satelit-satelit baru yang belum
diketahui sebelumnya. Kedua, Pluto tetap saya masukkan sebagai planet.
.
Kita akan menuangkan hubungan tersebut dalam bentuk grafik.
.
.
Meski
nampak adanya kecenderungan planet dengan massa lebih besar mempunyai
banyak satelit; tetapi tidak ada hubungan langsung antara massa dengan
jumlah satelit. Sebagai contoh, Mars yang mempunyai massa lebih kecil
dibanding Bumi justru mempunyai satelit lebih banyak dibanding bumi.
Pluto yang mempunyai massa jauh lebih kecil dibanding Bumi, justru
mempunyai lima buah satelit.
.
Dengan
demikian, terdapat banyak faktor yang menentukan jumlah satelit.
Nampaknya jumlah satelit itu merupakan kebetulan saja. Hanya saja, massa
yang lebih besar memperbesar atau meningkatkan peluang suatu planet
menangkap benda langit lain yang melintas dan menjadikannya sebagai
satelit. Jadi, fungsi massa di sini hanya meningkatkan peluang suatu
planet mempunyai lebih banyak satelit, tetapi bukan satu-satunya
penentu.
.
Lebih
jauh lagi, menurut rumus hukum gravitasi universal Newton yang
memerikan besarnya gaya tarik menarik antara dua benda; yakni:
.
F = G.m1.m2/r^2
.
G = konstanta gravitasi
m1 dan m2 = massa
r = jarak kedua benda
.
jelas
sekali bahwa semakin besar m1 atau m2, semakin besar pula gaya tarik
menarik antara dua benda tersebut. Bila dikaitkan dengan jumlah satelit
yang dimiliki suatu planet, maka besarnya gaya tarik itu berperan
sebagai berikut:
.
1) Menarik benda-benda langit yang melintas dengannya dan menjadikan benda langit tersebut sebagai satelit.
2) Mempertahankan satelit yang telah dimilikinya.
.
Jadi, wajar saja jika planet dengan massa yang besar mempunyai peluang mempunyai lebih banyak satelit.
Tentukan reduktor, oksidator, hasil reduksi, dan hasil oksidasi.
.
JAWABAN:
.
Pertama-tama
kita menentukan terlebih dahulu unsur-unsur yang mengalami oksidasi dan
reduksi. Adapun yang dimaksud dengan unsur mengalami oksidasi adalah
unsur yang naik bilangan oksidasinya. Sedangkan unsur mengalami reduksi
jika bilangan oksidasinya turun. Biasanya dalam soal yang mengalami
oksidasi dan reduksi adalah unsur-unsur selain H dan O. H mempunyai
bilangan oksidasi +1; sdangkan O mempunyai bilangan oksidasi +2.
.
Dalam hal ini yang kita perhatikan adalah Cr dan S. Kita amati Cr terlebih dahulu.
.
Cr pada ruas kiri mempunyai muatan 0, sehingga bilangan oksidasinya adalah 0
Kini
kita akan menghitung berapa bilangan oksidasi Cr pada ruas kanan. Cr
terdapat pada Cr2(SO4)3. Kita pisahkan ionnya Cr +3 dan (SO4) -2. Jadi
bilangan oksidasi Cr di ruas kanan adalah +3.
Jadi Cr mengalami oksidasi karena naik bilangan oksidasinya dari 0 ke +3.
.
Kita beralih pada S.
S
di ruas kiri terdapat pada H2SO4. Kita pisahkan atas ion-ionnya: H +1
dan (SO4) -2. Kita misalkan bilangan oksidasi S adalah x. Jadi berlaku: x
+ 4(-2) = -2. Maka x = +6. Bilangan oksidasi S di ruas kanan adalah
+6.
.
Sebagai
penjelasan tambahan 4(-2) berasal dari bilangan oksidasi O, yakni -2.
Karena ada 4 O, maka 4(-2). Sama dengan -2, karena bilangan oksidasi SO4
secara keseluruhan adalah -2.
.
S
di ruas kanan terdapat pada SO2. Misalkan bilangan oksidasi S di ruas
kanan adalah y. Jadi berlaku: y + 2(-2) = 0; maka y = +4. Bilangan
oksidasi S di ruas kanan adalah +4.
Jadi S mengalami reduksi karena turun bilangan oksidasinya dari +6 ke +4
.
Oksidator adalah zat yang mengalami reduksi, yakni H2SO4.
Reduktor adalah zat yang mengalami oksidasi, yakni Cr.
Cr mengalami oksidasi menjadi Cr2(SO4)3; jadi hasil oksidasi adalah Cr2(SO4)3.
H2SO4 mengalai reduksi menjadi SO2; jadi hasil reduksi adalah SO2.
1) Jika nilai semua siswa pulang maka tidak ada pelajaran. Tentukan ingkarannya.
.
Jawaban:
.
Kita akan menggunakan rumus:
.
~(p→q)≡ (p ᴧ ~q)
.
Jadi ingkarannya adalah: semua siswa pulang dan ada pelajaran.
.
2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.
.
Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil.
.
2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.
.
Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil.
.
Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:
.
a^2+1 < 2
a^2-1 < 0
(a+1)(a-1) < 0
.
Untuk a< -1 dan a > 1 nilainya akan selalu lebih besar 0
(positif). Sedangkan untuk -1 < a < 1 nilainya akan selalu lebih
kecil 0 (negatif). Tidak semua nilainya lebih kecil 0. Jadi tidak semua nilai a kuadrat ditambah 1 akan lebih kecil dibandingkan 2.
Sebagian
besar di antara kita, tentunya telah mengenal Sir Isaac Newton
(1643-1727) semenjak dari bangku sekolah. Kita barangkali telah
mengetahui bahwa, ia merupakan penulis karya tersohor dalam bidang
matematika serta fisika berjudul “Principia.” Sebenarnya itu merupakan
singkatan dari judul berbahasa Latin “Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica,” yang bila diterjemahkan ke bahasa Indonesia akan berbunyi
“Prinsip-prinsip Matematika Dalam Filsafat Alam.” Saya tiba-tiba saja
tertarik membaca karya tersebut untuk mengetahui apakah di masa sekarang
masih diperlukan membacanya. Beruntunglah di era Internet ini, berbagai
karya terkemuka di zaman dahulu dapat dengan mudah dijumpai. Karya
Newton ini memberikan sumbangsih berharga pada berbagai cabang sains,
seperti astronomi, mekanika, matematika, dan lain sebagainya.
.
Newton membuka karyanya dengan suatu definisi, yang disebutnya Definisi Pertama:
.
“Kuantitas materi adalah ukuran sama yang timbul dari massa jenis dan isi secara bersamaan.”
.
Saya
mencoba memahami apa yang dimaksud Isaac Newton dengan definisi
tersebut. Ia menjelaskan bahwa jika massa jenis udara digandakan dengan
ruang yang ditempatinya (maksudnya volume) juga digandakan, maka
kuantitasnya akan menjadi rangkap empat. Apabila volumenya dibuat
rangkap tiga (massa jenis tetap digandakan sebagaimana disebutkan
sebelumnya), maka kuantitasnya akan menjadi rangkap enam. Kuantitas
materi ini dengan demikian adalah sesuatu yang kini lebih kita kenal
dengan massa. Newton sedang menjelaskan mengenai hubungan antara massa,
massa jenis, dan volume; yakni melalui rumus yang kini kita kenal
sebagai:
.
massa = massa jenis x volume.
m = ρ .V
.
Rumus
ini tentu sudah kita kenal sejak duduk di bangku SMP. Newton
menambahkan pula bahwa apa yang disebut massa ini berbanding lurus
(proporsional) dengan beratnya. Hal ini tentu sudah kita kenal melalui
rumus:
.
W = m. g
.
Kita akan melanjutkan dengan definisi kedua Newton:
.
“Kuantitas gerak adalah ukuran sama, yang timbul dari kecepatan dan kuantitas materi (massa) secara bersamaan. “
.
Ia
menambahkan, jika suatu materi massanya digandakan tetapi kecepatannya
tetap, maka kuantitas geraknya akan menjadi dua kali lipat (digandakan
pula). Apabila kecepatannya juga digandakan dua kali lipat, maka
kuantitas geraknya akan menjadi empat kali lipat. Nampaknya apa yang
kita kenal sebagai kuantitas gerak ini adalah momentum atau p, yang
dirumuskan sebagai:
.
Momentum = massa x kecepatan.
.
p = m.v
.
Kita
melanjutkan lagi pada Definisi Ketiga. Definisi ketiga Newton inilah
yang ternyata kita kenal sebagai Hukum Newton Pertama dalam buku-buku
fisika:
.
“Gaya
yang terdapat dalam sebuah materi, adalah kekuatan untuk melawan,
dimana setiap benda pada keadaannya saat itu, berupaya mempertahankan
keadaannya, baik itu saat diam atau bergerak lurus dengan kecepatan
tetap dalam suatu garis lurus.”
.
Hal
ini yang kita kenal dengan sifat kelembaman benda. Efeknya nampak saat
mobil mengerem secara mendadak, dimana kita akan tersentak maju ke
depan, atau saat mobil menambah kecepatan kita akan serasa terdorong ke
belakang. Newton menyebut sifat ini dalam bahasa Latin sebagai vis inertiae atau “gaya tidak aktif” (inactivity force).
.
Definisi keempat Newton berbunyi:
.
“Gaya
yang dikerahkan adalah upaya diberikan pada sebuah benda, guna mengubah
keadaannya; baik itu dalam keadaan diam atau bergerak lurus beraturan.”
Newton
menjelaskan bahwa gaya itu hanya berupa tindakan saja dan tidak lagi
ada jika tindakan tersebut tidak lagi diberikan. Mungkin inilah kita
yang kini kita sebut dengan “gaya luar” F.
.
Sampai
di sini dahulu pembacaan saya terkait Principia karya Isaac Newton
karena hari sudah larut malam. Pembacaan akan saya lanjutkan di lain
kesempatan. Tentunya karya ini akan sangat menarik bagi para penggemar
fisika.
Misalkan
kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga
sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari
segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit
dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut
satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.
.
Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).
Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).
.
Keliling
segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni
panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).
Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).
= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).
.
Apabila
nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran.
Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran.
Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali
tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh
karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI;
maka kita dapat menyimpulkan.
limit n-->tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.
.
Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.
.
.
Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut.
,
Unuk n = 4, nilainya adalah 4.
n = 5, nilainya adalah 3.63271264
n = 10, nilainya adalah 3.249196962
n = 20, nilainya adalah 3.167688806
n = 50, nilainya adalah 3.145733363
n = 100, nilainya adalah 3.142626604
n = 200, nilainya adalah 3.141851065
n = 500, nilainya adalah 3.141633996
n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655
n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654
.
Jadi
jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati
PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.
.
Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
.
.
Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.
